Розв’язування нерівностей з параметрами.

Розв’язування нерівностей з параметрами.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: ах ≤ 2.

Розв’язання. При розв’язуванні нерівності слід розглянути випадки а < 0, а = 0, а > 0.

1) а < 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на число а. Оскільки а < 0, то при діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний. Маємо x ≥ 2/a.

2) а = 0. Маємо 0 ∙ х ≤ 2, х — будь-яке число.

3) а > 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на число а. Оскільки а > 0, то приділенні на додатне число знак нерівності не змінюється. Маємо x ≤ 2/a.

Відповідь. Якщо а < 0, то х ≥ 2/a; якщо а = 0, то х — будь-яке число; якщо а > 0, то х ≤ 2/a.

Приклад 2. Для всіх значень параметра а (а > 0, а ≠ 1) розв’яжіть нерівність 

Розв’язання. Розглянемо два випадки: 1) а > 1; 2) 0 < а < 1.

1) а > 1. Логарифмуємо обидві частини нерівності за основою а. Оскільки а > 1, то залишаємо знак нерівності без змін: 

Заміна log_а х = t. Маємо t² + Зt - 4 ≥ 0. Звідки t ≤ -4 або t ≥ 1 (мал. 52). log_a x ≤ -4 або log_a x≥ 1. Оскільки а > 1, то маємо 0 < х ≤ а^-4 або х ≥ а.

2) 0 < а < 1. Логарифмуємо обидві частини нерівності за основою а. Оскільки 0 < а < 1, то змінюємо знак на протилежний: 

Заміна lоg_a х = t. Маємо t² + 3t - 4 ≤ 0. Звідки -4 ≤ t ≤ 1 (мал. 53). Тому -4 ≤ log_a х ≤ 1. Враховуючи ще раз, що 0 < а < 1, матимемо 0 < х ≤ а^-4; а ≤ х ≤ 1/а⁴.

Відповідь. Якщо 0 < а < 1, то а ≤ х ≤ 1/а⁴; якщо а > 1, то 0 ≤ х ≤ а^-4 або х ≥ а.