Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sinx=a$\sin x=a$, cosx=a$\cos x=a$, tgx=a$\mathrm{tg}x=a$, ctgx=a$\mathrm{ctg}x=a$.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння sinx=a$\sin x=a$

Всі розв’язки рівняння

sinx=a,|a|≤1$$\sin x=a,|a|\le 1$$

записуються у вигляді

x=(−1)karcsina+πk,k∈Z.$$x={(-1)}^k\arcsin a+\pi k,k\in Z.$$

Окремі випадки:

sinx=0⇒x=πk, k∈Z.$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in Z.$$

sinx=±1⇒x=±π2+2πk, k∈Z.$$\sin x=\pm 1\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z.$$

2. Розв’язання рівняння cosx=a$\cos x=a$

Всі розв’язки рівняння

cosx=a,|a|≤1$$\cos x=a,|a|\le 1$$

записуються у вигляді

x=±arccosa+2πk, k∈Z.$$x=\pm \arccos a+2\pi k,k\in Z.$$

Окремі випадки:

cosx=0⇒x=π2+πk, k∈Z.$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z.$$

cosx=1⇒x=2πk, k∈Z.$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,k\in Z.$$

cosx=−1⇒x=π+2πk, k∈Z.$$\cos x=-1\Rightarrow x=\pi +2\pi k,k\in Z.$$

3. Розв’язання рівняння tgx=a$\mathrm{tg}x=a$

Всі розв’язки рівняння

tgx=a$$\mathrm{tg}x=a$$

записуються у вигляді

x=arctga+πk, k∈Z.$$x=\mathrm{arctg}a+\pi k,k\in Z.$$

Окремий випадок:

tgx=0⇒x=πk, k∈Z.$$\mathrm{tg}x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in Z.$$

4. Розв’язання рівняння ctgx=a$\mathrm{ctg}x=a$

Всі розв’язки рівняння

ctgx=a$$\mathrm{ctg}x=a$$

записуються у вигляді

x=arcctga+πk, k∈Z.$$x=\mathrm{arcctg}a+\pi k,k\in Z.$$

Окремий випадок:

ctgx=0⇒x=π2+πk, k∈Z.$$\mathrm{ctg}x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z.$$

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

sin  cos  tg  ctg

($($

x)=$x)=$

k=$k=$

Завдання для самостійного опрацювання:

Знайти усі розв’язки тригонометричних рівнянь:

Рівень А

1) sin(2t) = -1;  sin( - t) = 0,5;  sin(-4t) = 1; 6sin(5t) = 0;

2) cos(-0,5x) = 0,5;  8cos(-5x) = 0;  cos(-х) = -1;  -4cos(-5x) = -5;                             

3) 3sin(1,5πх) – 1= -1,5;

4) -cos(z – 0,5π) + 2,5= -0,5;    

5) - sin(-0,25π - x) - 6,5 = -7;

6) - 0,5cos(-0,5y - 1,5π)+ 0,5 =1;

7)- 0,5sin(2πz + 0,5π) = -1;

8) - cos(4π - 4πt) +1 =  0,5;

9)  2sin4(-2x- 3π) – 1= 0;            

10) - 2cos0,25(-6x + 5π) = 2;

11)  0,5sin(π - 4πx) = 1;               

12) - 2cos(6π + 3x) = -1;

13) - 2sin(8,5π – x) = 1;                

14) - 4cos(3 + 4πt)  = -1;

15) sin 2(- x + 7π) = 1;

16) - 5cos(-6π - 3x) = 0;

17) 2tg(-4x + 5π) – 1,8 = -2,4;        

18) - 6ctg(3x - 6π) +0,5= -5,5;

19) 4tg(2x + π) – 1,9 = -2,9;          

 20) ctg(3x - 3) – 1,5= -2,5;

21) - 7tg(2x + 4) + 1 = 2;                

22) ctg(3x + 7,25π) - 1,5= -2,5;

23) 5tg(-2x - 5π) - 1 = -2,25;        

24) ctg(-6x - 5π) + 9,5 = -6,5;

25) - 4tg(2x + π) - 1 = -5,2;             

26) ctg(8x - 4π) + 7,25= -2,25;

27) - 7tg(2x - 6,25π) - 1 = -4,2;     

Рівень Б

1) sin (2t – 0,5π)∙cos(3π - 4πx)  = 0;                 

2) cos(3π + 5x)∙sin(5π – x)  = 0;        

3) 3sin 2(-x - π)∙ctg(-3x - 2π)  = 0;                      

4) cos(4z - π/2)∙ctg(-3x - 0,25π)  = 0;    

5) - 14sin5πx∙cos(3π -4πx) = 0;                   

6) ctg(-3x+7,25π)∙ctg(-6x-5π) = 0;

7) - 0,5sin2z + cos2z = 0;                                     

8) - 5sin4z + cos4z = 0;

9) - 0,5sin8x - 0,3cos4x = 0;                                

10) - cos0,25t+ sin0,5t = 0;

11) - 3sin(8π - 8πx) + cos(4π - 4πx)  = 0;            

12) - 2cos6x – sin3x -1= -1;

13) 1-2sin2πx - cosπx = 1;                                  

14) - 3cos(5π + 4πx)  = -1;

15) - sin^0,5(x + 0,25π) = -1;                                    

16) - 4cos²( - 6π - 3x) =  -1;

17) 2tg²4x –  tg³4x = 0;                                         

18) - 6ctg³3x + 0,5ctg²3x = 0;

19) 4tg²(2x + 0,25π) – 1,9 = -2,9;                          

20) ctg³(3x - 8π) + 125 = 0;

Рівень В

1) cos² x² – cos x² = 0;

2) cos²(-x) – /sin(-x)/ = 0;

3) /ctg(4x-2)/ + 4,5 =  7,5.

4) sin²x + сos²x = 2; 

5) cos²x + sin²x = 1;

6) 4cos²x + 4sinx – 1 = 0; 

7) 4sin²x – 4cosx – 1 = 0;

8) sin2x + cos4x = – 2; 

9) cos2x – sinx = -- 2;

10) (3) ^0,5sin²2x – 2sin4x + (3) ^0,5cos²2x = 0;

11) (3) ^0,5cos²3x + sin6x – (3) ^0,5sin²3x = 0;

12) 0,5sin2x + cos²x = 0;   

13) sin²x – 0,5sin2x = 0;

14) sin2x + cos²x = – 1;  

15) sin3x – cos3x = 1;

16) 1– cosx – (3)^0,5sin0,5x = 0;   

17) 1 + cosx + (3)^0,5cos0,5x = 0;

18) 1 – cos x = 2sin0,5x;    

19) 1 + cos x = 2cos0,5x;

20) sin2x + sin4x + sin6x = 0; 

21) cos2x  + cos4x + cos6x = 0;

22) sin6x – 2sin2x = 0;

23) cos6x + 2cos2x = 0;

24) sin2x – (3)^0,5cos2x = 1;

25) cos3x + (3)^0,5sin3x = - 1;

26) sin²x + sin²2x + sin²(3x) = 1,5;  

27) cos²x + co