10 клас. Алгебра. Дистанційне навчання: липня 2014

середу, 9 липня 2014 р.

Найпростіші ірраціональні рівняння

БАНК ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Розв'язати ірраціональні рівняння:

Рівень А

1. х^0,5 = 4;

2. z¹^,⁵ = 3;

3. n²^,5 = 1;

4. k³^,5 = 2;

5. y^0,² = - 1;

6. x^1/3 = - 2;

7. z^1/5 = - 4;

8. d^1/7d^6/7 = - 2;

9. 6z^0,²⁵z⁴ = 3;

10. 2x¹^,²⁵x⁴= 1;

11. 2y^0,³: y^0,² = 1;

12. 4z^0,⁴: z^0,⁵ = 1;

13. -2u^1/3:u^1/2 = 1;

14. -4х^1/2 + 7 = -1;

15. 0,1m^1/3 m^1/2 + 0,2 = - 0,2;

16. (- n)¹^/3= 0,4;

17. 0,5(k³)^0,5 = 1/2;

18. (- 32p^-2)^3/⁵+ 2= 1;

19. (- a⁴)¹^/⁵= -2;

20. (b²– 1 )¹^,5= 0;

21. (d² – 5d + 7)^0,5= 1;

22. (7 - y)¹^/2= y¹^/2;

23. (9 - х)¹^/3= x¹^/3;

24. (12 - z)¹^/2= z;

25. (6 - х)¹^/2= x;

26. (x + 1)^-¹^/2 = (х + 1)¹^/2;

27. (y + 3)¹^/2 = (y - 2)¹^/2;

28. (z + 3)¹^/2 = (- z - 2)¹^/2;

Рівень Б

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ IIРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ,

ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ.

29. [(y - 5) (4 – y)]¹^/2 = 0;

30. [(x - 4) (3 – x)]¹^/2 = 0;

31. (m²)^0,5 - 3m^0,5 + 2 = 0;

32. z²^/⁵ - z¹^/⁵ - 6 = 0;

33. n²^/3 – n^1/3 - 12= 0;

34. х^1/2 - 5х^0,25 + 6= 0;

35. [2n²- 5n - 3]¹^/2[6m² – 21m + 18]¹^/3 = 0;

36. [4k² – 7k + 3]¹^/5[k² – 5k + 6]^0,25 = 0;

37. z² – 3z - (z² – 3z)^0,5- 2 = 0;

38. y² – 8y - 2(y² – 8y)^0,5- 3 = 0;

39. (х² – 1)^0,5- (х² – 1)^0,²⁵- 2 = 0;

40. (х³ – 1)^0,5- 3(х³ – 1)^0,²⁵- 4 = 0;

Рівень B

41. (x + 2)¹^/2 + (3 - x)¹^/2 = 3;

42. (x + 9)¹^/2 + (16 - x)¹^/2 = 7;

43. (x + 2)¹^/2 + (х + 3)¹^/2 = (3х + 4)¹^/2;

44. (x + 3)¹^/2 + (х - 2)¹^/2 = (4х + 1)¹^/2;

45. 2(x + 1)^-¹^/2 + (х + 1)¹^/2 = (4х -3)¹^/2;

46. 2(x - 1)^-¹^/2 + (х - 1)¹^/2 = (2х -1)¹^/2;

47. (3 - x)¹^/2 (1 – 3x)¹^/2 = х + 5;

48. [(x + 1) (4 – x)]¹^/2 = х - 2;

49. (2 - x)¹^/2 (1 – 4x)¹^/2 = х + 8;

50. [(x + 1) (9 – x)]¹^/2 = х - 3;

51. [4х² – 7x]¹^/5= [х² - 5х]^0,25;

52. [х² - 4х + 4]¹^/5 = [х² - 6х + 8]¹^/3.

вівторок, 8 липня 2014 р.

КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ з теми "ПАРАМЕТРИ У РІВНЯННЯХ ТА НЕРІВНОСТЯХ"

КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ

1. При якому значенні а рівняння (а² - 4)х = а + 2 не має розв’язків?

2. При якому значенні в рівняння (b² - 1)х = b - 1 має безліч розв’язків.

3. При яких значеннях параметра а рівняння ах² + 2х - 1 = 0 має єдиний розв’язок?

4. При яких значеннях параметра b рівняння х² + bх + 9 = 0 має два різних розв’язки на множині дійсних чисел.

5. При яких значеннях параметра а рівняння

має дійсні розв’язки?

6. При яких значеннях параметра а має корені рівняння

7. Як записати розв’язок нерівності (а² - 1)х > а - 1, якщо -1 < а < 1?

8. При якому значенні параметра а система рівнянь

не має розв’язків?

9. Розв’язати рівняння:

10. Розв’язати нерівність:

11. Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння

має два різних дійсних розв’язки.

12. Скільки розв’язків має рівняння х⁴ + х - 5 = 0?

Використання графічного метода розв’язування і дослідження системи рівнянь.

Використання графічного метода розв’язування і дослідження системи рівнянь.

Якщо задано систему рівнянь

і можна побудувати графіки рівнянь F₁(x;y) = 0 іF₂(х;у) = 0, то точки перетину цих графіків і будуть розв’язками системи. Таким чином можна визначити кількість розв’язків системи та безпосередньо розв’язки (точно або наближено).

Приклад. Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Запишемо систему наступним чином

Графіком рівняння х² + у² = 4 є коло з центром у точці (0;0) і радіусом 2 (мал. 59). Графіком рівняння (х - 5)² + у² = а, де а > 0 є коло з центром у точці (5;0) і радіусом .

Система матиме один розв’язок, коли кола дотинатимуться. Найбільшому значенню а відповідає внутрішній дотик кіл (мал. 59). В цьому випадку радіус більшого кола дорівнює 7. Отже, = 7, а = 49.

Таким чином, найбільшим значенням параметра а при якому система рівнянь має єдиний розв’язок, є 49.

Використання графічного метода розв’язування і дослідження нерівностей.

Використання графічного метода розв’язування і дослідження нерівностей.

Якщо задана нерівність f(x) > g(х) і можна побудувати графік функцій у = f(x) і у = g(x), то розв’язками нерівності будуть ті значення х, для яких графік функції у = f(x) розташований вище, ніж графік функції у = g(x).

Приклад. На малюнку 58 зображено графіки функцій f(x) = (2^x + 12)/14 i g(х) = log₄ х +1Скільки всього цілих розв’язків має нерівність f(x) < g(x)?

Розв’язання. Спочатку за малюнком треба ідентифікувати графіки. Оскільки для функції f(x) областю допустимих значень є множина всіх дійсних чисел, а для функції g(x) - множина (0;∞), то легко здогадатися, що графік І - це графік функції g(х) = log₄ х +1, а графік II - графік функції f(x) = (2^x + 12)/14.

Розв’язками нерівності f(x) < g(x) будуть ті значення х, для яких графік II розташований нижче графіка І; тобто - проміжок (1;4). На цьому проміжку є два цілих числа 2 і 3. Отже, нерівність f(х) < g(х) має два цілих розв’язки х = 2 і х = 3.

ВИКОРИСТАННЯ ГРАФІЧНОГО МЕТОДА РОЗВ’ЯЗУВАННЯ І ДОСЛІДЖЕННЯ РІВНЯНЬ

ВИКОРИСТАННЯ ГРАФІЧНОГО МЕТОДА РОЗВ’ЯЗУВАННЯ І ДОСЛІДЖЕННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА СИСТЕМ.

Ми вже використовували графічний метод при розв’язуванні систем лінійних рівнянь (§4, п.З) та квадратних нерівностей (§14, п.2). Розглянемо ще приклад використання графічного метода розв’язування і дослідження рівнянь, нерівностей та систем.

1. Використання графічного метода розв’язування і дослідження рівнянь.

Якщо задано рівняння f(x) = g(x) і можна побудувати графік функцій у = f(x) і у = g(x), то абсциси перетину графіків будуть розв’язками рівняння f(x) = g(x). Таким чином можна визначити кількість розв’язків рівняння f(x) = g(x) та безпосередньо розв’язки (точно або наближено).

Приклад. Скільки розв’язків має рівняння х⁶ + х – 3 = 0.

Розв’язання. Подамо рівняння у вигляді х⁶ = 3 – х. Зображуємо схематично графіки функцій у = х⁶ і у = 3 - х (мал. 57). Вони перетнулися у двох точках. Тому рівняння х⁶+х–3=0 має два розв’язки.

Використання монотонності функції при розв’язуванні рівняння.

Використання монотонності функції при розв’язуванні рівняння.

Розглянемо рівняння f(х) = g(x) за умови, що f(x) - зростаюча на деякому проміжку [a;b]функція, a g(x) - спадна на цьому проміжку функція (або стала) (мал. 54 - мал. 56).

Тоді рівняння f(x) = g(x) має один розв’язок (мал. 54 і мал. 56) або не має розв’язків взагалі (мал. 55). Аналогічно розглядається рівняння і у випадку коли f(х) - спадає на [a;b], a g(x) - зростає на цьому проміжку або є сталою.

Отже, якщо в рівнянні f(x) = g(x) одна з функцій f(x) або g(x) зростає на деякому проміжку, а інша — спадає на цьому проміжку або одна функція є монотонною, а інша - сталою, то рівнянняf(x) = g(x) має не більше як один корінь на цьому проміжку.

Найчастіше коренем є ціле число, яке можна знайти підбором, починаючи з невеликих за модулем чисел: 0; ±1; ±2 ...

Приклад. Розв’яжіть рівняння