Зведення тригонометричного рівняння до однієї функції одного того самого аргументу.

Зведення тригонометричного рівняння до однієї функції одного того самого аргументу.

Досить часто після використання відповідних тригонометричних формул вдається звести рівняння до однієї функції одного й того самого аргументу, після чого застосувати заміну змінних.

Якщо в рівняння входить лише і tg х i ctg x, то після застосування формули ctg x = 1/tg xотримаємо рівняння, що містить лише tg x.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ рівняння складається з усіх значень х, крім тих, для яких cos х = 0 або sin x= 0. На ОДЗ рівняння маємо ctg x = 1/tg x. Запишемо отримане рівняння

 та введемо заміну tg x = t. Маємо рівняння  коренями якого є числа-1 і -1/2.

Якщо в рівняння входить лише sin x і cos x, причому хоча б одна з функцій тільки у парних степенях (наприклад, sin x), то застосовуємо формулу sin² х = 1 - cos² х з подальшою заміноюcos х = t. Аналогічно застосовуємо формулу cos² х = 1 - sin² х, якщо cos х входить у рівняння лише у парних степенях.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Оскільки  то маємо

Робимо заміну  Маємо

Другий корінь не задовольняє рівняння, оскільки |t| ≤ 1.

Отже, 

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2х і cos x, то застосовуємо формулу cos2х = 2 cos² х - 1 і вводимо заміну cos х = t.

Якщо в тригонометричне рівняння входять лише cos 2x і sin х, то застосовуємо формулу cos 2х = 1 – 2 sin² x і вводимо заміну sinx = t.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. Маємо  заміна 

Рівняння  має корені  з яких лише перший задовольняє умову |t| ≤1. Отже,