Область значень тригонометричних функцій

Область значень.

Областю значень синуса і косинуса є проміжок [-1;1].

Областю значень тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 1. Чи існує таке значення х, при яких виконується рівність:

Розв’язання. 1) Оскільки  то існує таке значення х, при якому 

2) Оскільки - < -1, то не існує значення х, при якому соs x = -.

Приклад 2. Знайдіть область значень функції:

Розв’язання. 1) Маємо -1 ≤ cos x ≤ 1. Віднімемо від усіх частин цієї подвійної нерівності число 3. Маємо  тобто  Отже, областю значень функції є проміжок [-4;-2].

2) Зрозуміло, що sin²x ≥ 0. 3 іншого боку  Додамо до усіх частин цієї нерівності число 1. Маємо  тобто  Отже, областю значень функції є проміжок [1;2].



Знаки тригонометричних функцій по чвертях.

Синус кута а є ординатою точки Р_α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому sin α > 0, якщо α — кут І або II чверті, і sin α < 0, якщо α — кут III або IV чверті.

Косинус кута α є абсцисою точки Р_α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому cos α > 0, якщо α — кут І або IV чверті, і cos α < 0, якщо α — кут II або III чверті.

Оскільки  то tgα і ctg α залежать від знаків sin α і cos α. У І та III чвертях sin α і cos α мають однакові знаки, а у II та IV чвертях різні. Тому tg α > 0 і ctg α > 0, якщо α — кут І або III чверті, і tg α < 0 і ctg α < 0, якщо α — кут II або IV чверті.

Знаки тригонометричних функцій у кожній з чвертей подано на малюнку 21.

Приклад. Порівняти з нулем: 1) соs152°; 2) tg3 ∙ sіn4 .

Розв’язання. 1) Оскільки 152° — кут II чверті, то соs152° < 0 .

2) 3 радіани ≈ 3 ∙ 57° = 171°, тому 3 радіани — кут II чверті і tg3 < 0 .

4 радіани ≈ 4 ∙ 57° = 228°, тому 4 радіани — кут III чверті і sіn4 < 0. Остаточно маємо tg3 ∙sіn4 > 0 .