СИСТЕМИ, ЩО МІСТЯТЬ ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ.

СИСТЕМИ, ЩО МІСТЯТЬ ПОКАЗНИКОВІ І ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ.

При розв’язуванні системи, що містять показникові і логарифмічні рівняння, використовують прийоми розв’язування систем (спосіб підстановки, спосіб додавання, заміну змінних) та методи розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь: 

Розв’язання. Помножимо перше рівняння системи на друге, маємо  Звідси y = 3 – x. Підставимо у перше рівняння початкової системи: 

Отже, (2;1) — розв’язок системи рівнянь.

Приклад 2. Розв’яжіть систему рівнянь: 

Розв’язання. Оскільки 16 = 2⁴ і х > 0 і y > 0, то маємо:

Заміна  Маємо: 

Враховуючи t > 0 і z > 0, отримаємо t = 5; z = 6. Тоді  = 5; х = 25;  = 6; у = 36. Отже, (25;36) — розв’язок системи.

Приклад 3. Розв’яжіть систему рівнянь: 

Розв’язання. Із другого рівняння системи дістаємо: 

Підставимо у перше рівняння замість х вираз 5 - у. Маємо 

Тоді, х = 5 - у; х = 5 - 7; х = -2. Отже, (-2;7) — розв’язок системи.

Приклад 4. Розв’яжіть систему рівнянь: 

Розв’язання. Із першого рівняння системи дістанемо 

Заміна 

Значить, log_ух = 1. Початкова система рівносильна такій:

Звідси, у = 4, тоді х = 4.

Отже, (4;4) — розв’язок системи.

Приклад 5. Розв’яжіть систему рівнянь: 

Розв’язання. Логарифмуючи друге рівняння за основою 2 (враховуючи додатність лівої частини рівняння), дістанемо:  Маємо

Звідси у₁ = 3, тоді 

Отже, пари (4;3) і (1/8;-2) — розв’язки системи рівнянь.