Використання монотонності функції при розв’язуванні рівняння.

Використання монотонності функції при розв’язуванні рівняння.

Розглянемо рівняння f(х) = g(x) за умови, що f(x) - зростаюча на деякому проміжку [a;b]функція, a g(x) - спадна на цьому проміжку функція (або стала) (мал. 54 - мал. 56).

Тоді рівняння f(x) = g(x) має один розв’язок (мал. 54 і мал. 56) або не має розв’язків взагалі (мал. 55). Аналогічно розглядається рівняння і у випадку коли f(х) - спадає на [a;b], a g(x) - зростає на цьому проміжку або є сталою.

Отже, якщо в рівнянні f(x) = g(x) одна з функцій f(x) або g(x) зростає на деякому проміжку, а інша — спадає на цьому проміжку або одна функція є монотонною, а інша - сталою, то рівнянняf(x) = g(x) має не більше як один корінь на цьому проміжку.

Найчастіше коренем є ціле число, яке можна знайти підбором, починаючи з невеликих за модулем чисел: 0; ±1; ±2 ...

Приклад. Розв’яжіть рівняння 

Розв’язання. ОДЗ: х > 0. Функція f(x) =  зростає на (0;+∞). Функція  а тому й функція  - спадає на (0;+∞). Тому рівняння  має не більше як один корінь. Легко побачити, що х = 1 - корінь рівняння  інших коренів немає.