Поняття показникової функції та її графік

Поняття показникової функції та її графік

Означення. Показниковою функцією називається функція виду , де 

Властивості показникової функції:

1. Область визначення  

2. Область значень: 

3. Функція ні парна, ні непарна.

4. Точки перетину з осями координат: з віссю ординат (0;1) ; з віссю абсцис точок перетину немає.

5. Проміжки зростання і спадання:

функція  при   зростає на всій області визначення.

функція  при   спадає на всій області визначення.

6. Проміжки знакосталості:  при всіх значеннях аргументу.

7. Найбільшого і найменшого значень функція не має.

        Обгрунтуємо ці властивості:

Оскільки при  вираз  означений при всіх дійсних значеннях x, то областю визначення показникової функції  є всі дійсні числа.

Функція виду   існує й при .

Тоді  , тобто  при всіх значеннях . Але в цьому випадку функція  не називається показниковою, оскільки є лінійною функцією .

Графік показникової функції називається експонентою.

Областю значень функції  є множина всіх додатних чисел, тобто функція  набуває тільки додатних значень, причому будь-яке додатне число є значенням функції, тобто 

Це означає, що графік показникової функції  завжди розташований вище осі Ох і будь-яка пряма, що паралельна осі Ох і знаходиться вище неї, перетинає цей графік.

Обґрунтування області значень та проміжків зростання і спадання показникової функції проводиться в курсі вищої математики так: ці властивості перевіряються послідовно для натуральних, цілих, раціональних показників, а потім уже переносяться на довільні дійсні показники.

Точки перетину з осями координат. Графік функції  перетинає вісь  у точці  Дійсно, на осі  значення , тоді  

Графік показникової функції  не перетинає вісь , оскільки усі точки осі  мають ординату 0, але значення  не входить до області значень показникової функції (  тільки при , але за означенням ).

Функція  не має ні найбільшого, ні найменшого значень, оскільки її область значень - проміжок  який не містить ні найменшого, ні найбільшого числа.

Властивості показникової функції

 

 

 

Слід зазначити, що для функції  справедливою є рівність  при довільних дійсних значеннях аргумента  та  . Строге доведення цих рівностей здійснюється в курсі вищої математики.

Розглянемо наступні графіки функцій:

Порівнюючи ці графіки, робимо висновок: чим більша основа , тим крутіше піднімається графік функції при русі точки зліво направо і тим швидше графік наближається до осі Ох при русі точки справа наліво.

 

Аналогічно, чим менша основа , тим крутіше піднімається графік функції при русі точки справа наліво і тим швидше графік наближається до осі Ох при русі точки зліва направо.

Зауважимо, що вираз  можна розглядати і при  і при  Але в цих випадках він уже буде означений не при всіх дійсних значеннях , як показникова функція  Зокрема, вираз  означений при всіх  (і тоді ), а вираз  - при всіх цілих значеннях ( наприклад, ). З цієї причини й не беруть основу показникової функції  (одержуємо постійну функцію при ) та  (одержуємо функцію, означену тільки при досить «рідких» значеннях . Але наведені міркування стосовно доцільності вибору основи показникової функції не впливають на область допустимих значень виразу  (наприклад, як ми бачили вище, пара значень  входить до його ОДЗ, і це доводиться враховувати при розв'язуванні деяких завдань).

Приклади розв'язання завдань

Пр1. Порівняйте значення виразів:

а)  та 

Функція є спадною (основа степеня менша за 1), тому з нерівності  одержуємо 

б)  та  .

Функція  є зростаючою  тому з нерівності   одержуємо 

Слід врахувати, що функція  при а > 1 є зростаючою, а при 0 < а < 1 - спадною. Отже, спочатку порівняємо задану основу а з одиницею, а потім, порівнюючи аргументи, зробимо висновок про співвідношення між заданими значеннями функції. 

Пр 2. Порівняйте з одиницею додатну основу , якщо відомо, що виконується нерівність:

а) 

Оскільки  і за умовою , то функція  є спадною, отже, 

б) 

Оскільки   і за умовою  то функція  є зростаючою, отже,