Функція у = sin x

ФУНКЦІЯ у = sin x ТА ЇЇ ГРАФІК.

Розглянемо графік рівняння одиничного кола х² + у²  = 1, з центром в точці (0; 0) і радіусом R=1 в прямокутній системі координат ХОУ.

Уявимо, що по цьому колу обертається точка М(х; у).  Визначимо точку, яка буде називатися початком обертання.

Означення. Точку перетину одиничного кола х² + у²  = 1 з додатним  напрямом  осі Ох (абсцис) А(1; 0) вважатимемо початком руху  точки  М(х; у) по одиничному колу.

Визначимо додатний і від’ємний напрям обертання. Уявіть, що ми провели числову пряму , як дотичну до кола в А(1; 0). Тепер вважатимемо, що числова пряма є ниткою і накручуємо  цю нитку на одиничне коло х² + у²  = 1. Від точки   А(1; 0) проти часової стрілки накручується додатна частина числової прямої. Цей напрям називають додатним напрямом руху точки  М(х; у) по одиничному колу. 

Від точки   А(1; 0) за часовою стрілкою накручується від’ємна частина числової прямої. Цей напрям називають від’ємним напрямом руху точки  М(х; у) по одиничному колу. 

Місце положення точки  М(х; у) на одиничному колі можна виразити не тільки абсцисою х та ординатою у.  Вкажемо, ще один спосіб знаходження місце положення точки М на  одиничному колі. Наприклад, уявімо, що на числовій прямій, що намотується на одиничне коло, позначили не числову, а градусну міру, як в додатному так і у  від’ємному напрямі, Зрозуміло, що нульовий градус потрапляє у число нуль на числовій прямій, прямий кут, тобто 90^о, в додатному напрямі є число 0,5p,  прямий кут за від’ємним напрямом є число -0,5p, розгорнутий кут в додатному напрямі є число p,  розгорнутий кут за від’ємним напрямом є число -p, і так далі. Так ми встановили взаємно однозначну відповідність між градусною мірою повороту радіуса одиничного кола  відносно початку координат О(0; 0) з числовою мірою(її  часто називають радіанною мірою кутів) на числовій прямій.

Отож, кожне положення точки  М(х; у) під час руху по одиничному колу, може задаватися однією координатою та напрямом руху, а саме градусною мірою повороту радіуса одиничного кола, що відповідає точці на градусній прямій, яку намотали на це коло.

Якщо точка М(х; у) рухається по колу від точки початку А(1; 0) в напрямі проти часової стрілки до деякої точки Р_а , то цей напрям  руху задається як  певна  величина дуги АМ(частина кола), яку вкаже   додатне значення  на накрученій градусній прямій.

Якщо точка М(х; у) рухається по одиничному колу від точки початку А(1; 0) в напрямі за часовою стрілкою до деякої точки Р_-в , то цей напрям  руху задається як  певна  міра, величина дуги АМ(частина кола), яку вкаже   від’ємне значення  на накрученій градусній прямій.

Встановимо зв’язок між абсцисою х та ординатою у точки  М(х; у) і градусною мірою( а отже і радіанною мірою) дуги АМ на одиничному колі.

Положення точки визначається однозначно, якщо вказати довжину дуги АМ, нехай вона дорівнює х( дивись малюнок), якщо відраховувати в додатному напрямі від початкової точки А до точки М. Коли значення х зростає від 0 до 2p, то точка М робить повний оберт по колу в додатному напрямі.

Проміжку 0 < х < 0,5p відповідає дуга АВ, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в першій чверті.

Проміжку 0,5p  < х < p відповідає дуга ВС, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в другій чверті.

Проміжку p  < х < 1,5 p відповідає дуга CD, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в третій чверті.

Проміжку 1,5p  < х < 2 p відповідає дуга DА, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в четвертій чверті.

Із точки М, що знаходиться в першій чверті, опустимо перпендикуляр на вісь Ох, отримаємо основу перпендикуляра М₁.

Розглянемо прямокутний трикутник ОММ₁, гіпотенуза ОМ = 1, кут ОМ₁М – прямий. Позначимо за а кут М₁ОМ. Називатимемо катет М₁О – прилеглий катет до кута а. Називатимемо катет М₁М – протилежний катет до кута а.

Означення. Косинусом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин при­леглого катета та гіпотенузи і позначається

cos а = М₁О:ОМ = х : 1 = х, де х – абсциса точки М(х; у).

Означення. Синусом гострого кута прямокутного трикут­ника називається відношення довжин протилеж­ного катета та гіпотенузи і позначається

 sin а = М₁М:ОМ = у : 1 = у, де у – ордината точки М(х; у).

Означення. Тангенсом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин про­тилежного та прилеглого катетів:

     tg а = М₁М:ОМ₁ ,    tg а = (sin а) : (cos а) .

Означення. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення довжин прилеглого та протилежного катетів:

    ctg а = М₁О:ММ₁,   ctg а = (cos а) : (sin а),    ctg а = 1 : tg а.

Означення. Секансом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин гіпотенузи та  при­леглого катета і позначається

sес а = ОМ :М₁О. sес а = 1 : cos а.

Означення. Косекансом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин гіпотенузи та  протилежного катета і позначається

cosес а = ОМ :М₁М. соsес а = 1 : sin а.

Звертаємо увагу, що в означеннях фігурують гострі кути прямокутного трикутника. Для того щоб розширити ці означення на довільні значення кутів повороту радіуса навколо початку, можна побудувати такі ж прямокутні трикутники в другій, третій, четвертій чвертях і отримати відповідні значення абсциси  та ординати точки М(соs a; sin a).

Абсциса х і ордината у точки М, що розташована на одиничному колі таким чином є функціями від градусу повороту радіуса одиничного кола, і їх називають косинусом  та синусом .

А тепер згадаємо, що графік рівняння одиничного кола х² + у²  = 1. Враховуючи, що точка М(х; у) = М(соs a; sin a) рухалася на цьому колі, тоді виконаємо в цьому рівнянні заміну змінних:

х² + у²  = соs² a + sin² a = 1.

Означення. Рівність соs² a + sin² a = 1 називається основною тригонометричною тотожністю.

Таким чином, означення основних тригонометричних функцій має геометричний зміст, адже пов’язане з колом, тому тригонометричні функції іноді називають круговими функціями. Однак існує інші, формульні означення синуса та косинуса, наприклад, найпростіші із формул можуть бути взяті степеневі ряди, в яких розуміють виконання тільки двох операцій – додавання і віднімання, проте кількість цих дій безмежна, що рівносильно  існуванню граничному переходу до певної межі.

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ СИНУСА

Означення. Функцією синуса називається функція, що задається формулою у = sin x.

В прямокутній системі координат графіком функції у = sin x являється множина точок Г = {(x; sin x)| xєR}.

Відомо, що число p - трансцендентне, тобто воно не може бути розв’язку деякого раціонального рівняння з раціональними коефіцієнтами.

 Звертаєтамо увагу на те, що функція у = sin x може приймати значення аргументу із множини трансцендентних чисел.   

Функція синуса входить до множини трансцендентних функцій.

Означення. Синусоїдою називається множина точок

Г = {(x; sin x)| xєR}.

 

 

ВЛАСТИВОСТІ  ФУНКЦІЇ  у = sin x.

Область визначення функції синуса – це множина дійсних чисел. Позначення області визначення функції синуса: D(sin x) = R  .

Множина значень функції синуса – це множина таких дійсних чисел, що належать числовому відрізку [-1;1].

Позначення області значення функції синуса: Е(sin x) = [-1;1].

Відрізок [-1;1] на осі ординат називають відрізком синусів.

Функція  у = sin x  непарна.

 

 Графік функції у = sin x  симетричний відносно точки (0;0).

 Функція у = sin x періодична з найменшим додатним періодом Т = 2p.

     

Форма графіка повторюється через 2p. Сам графік можна одержати з будь-якої частини графіка на інтервалі завдовжки  2p за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво або вправо на 2pk, де  kєZ.

Точки перетину з осями координат.

Графік функції у = sin x  перетинає вісь абсцис в безлічі точок.

Якщо у = 0, тоді

sin x  = 0;

х = pk, де  kєZ.

Отже, нулі функції у = sin x:  

Функція  у = sin x  має безліч нулів.

Точки перетину графіка функції у = sin x  з віссю Ох: (pk; 0), де  kєZ.

Графік функції у = sin x  перетинає вісь ординат в одній точці.

Якщо х = 0, тоді

у =sin 0  = 0;

Точка перетину графіка функції у = sin x  з віссю Оу: (0; 0).

В маленькому околі точки початку координат (0; 0) синусоїда себе веде, як лінійна функція.

Проміжки знакосталості.

Функція  у = sin x  додатна, якщо

sin x > 0,  х Î (2pk; p + 2pk), де  kєZ.

 Функція  у = sin x  від’ємна, якщо

sin x < 0,  х Î (p + 2pk; 2p + 2pk), де  kєZ.

Функція у = sin x  неперевна і обмежена, тобто | sin x|  ≤ 1.

Функція у = sin x  неперевна і обмежена, тобто | sin x|  ≤ 1.

Поведінка функції у = sin x  біля початку координат (sin x ≈ х, x ® 0,)

Якщо   x ® 0, то sin x® 0.   Якщо   x ® 0, то  ® 1.  

sinx ≈ x –++…++…

Перша похідна функції у = sin x  є тригонометричною функцією для будь-якого значення аргументу.

Нулі першої похідної y′(х) = cos x являються точками екстремуму

функції синуса. Проміжки, де cos x < 0, вказують на проміжки спадання графіка функції синуса . Проміжки, де cos x > 0, вказують на проміжки зростання графіка функції синуса .

Проміжки монотонності  функції  у = sin x.

 Функція  у = sin x  зростає в кожному з проміжків

[-0,5p + 2pk; 0,5p + 2pk], де  kєZ.

  Функція  у = sin x  спадає в кожному з проміжків

[0,5p + 2pk; 1,5p + 2pk], де  kєZ.

Екстремуми функції  у = sin x.

Функція  у = sin x набуває найбільшого значення, що дорівнює

y_max = 1  в точках   х_max = 0,5p + 2pk, де  kєZ.

Функція  у = sin x набуває найменшого значення, що дорівнює

y_min = -1 в точках   х_min = 1,5p + 2pk, де  kєZ.

Друга похідна функції у = sin x це теж тригонометрична функція

y′′(х) =( сos x) ′ = - sin x.

Нулі другої похідної y′′ (х) = - sin x являються точками перегину

функції синуса. Проміжки, де - sin x < 0, вказують на випуклість вгору графіка  функції косинуса . Проміжки, де - sin x > 0, вказують на випуклість вниз графіка функції синуса.

Проміжки випуклості  функції  у = sin x.

Графік функції  у = sin x випуклий вгору на проміжках:

(2pk; p + 2pk), де  kєZ.

 Графік функції у = sin x випуклий вниз на проміжках:

(p + 2pk; 2p + 2pk), де  kєZ.

Точки перегину графіка функції у = sin x:  х = pk, де  kєZ.

Функція  у = sin x має похідні будь-якого порядку.

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції синуса користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =( sin ax)⁽ⁿ⁾= aⁿ sin (a x + 0,5pn).

Первісна функції у = sin  x.

Функція  у = sin x має первісну У(х)= - cos x + C.

Площа, яку обмежує синусоїда і вісь абсцис на відрізку [a;b] обчислюється за формулою: S(sin([a;b])) ;

Площа, яку обмежує синусоїда і вісь абсцис на своєму півперіоді дорівнює 2 кв. од.

S(sin ([-0,5p; 0,5p])) = 2 кв. од.

Площа, яку обмежує косинусоїда і вісь абсцис на своєму найменшому додатному періоді дорівнює 4 кв. од.

S(sin ([0; 2p])) = 4 кв. од.

Приклад

таблиця інтегралів (первісних функцій) тригонометричних функцій. 

• 1 Функція, що містять тільки синус
• 2 Функція, що містять тільки косинус
• 3 Функція, що містять тільки тангенс
• 4 Функція, що містять тільки секанс
• 5 Функція, що містять тільки косеканс
• 6 Функція, що містять тільки котангенс
• 7 Функція, що містять і синус і косинус
• 8 Функція, що містять і синус і тангенс
• 9 Функція, що містять і косинус і тангенс
• 10 Функція, що містять і синус і котангенс
• 11 Функція, що містять і косинус і котангенс
• 12 Інтеграли з симетричними межами інтегрування