ФУНКЦІЯ у = ctg x

ФУНКЦІЯ у = ctg x ТА ЇЇ ГРАФІК

Розглянемо графік рівняння одиничного кола х² + у²  = 1, з центром в точці (0; 0) і радіусом R=1 в прямокутній системі координат ХОУ.

Уявимо, що по цьому колу обертається точка М(х; у).  Визначимо точку, яка буде називатися початком обертання.

Означення. Точку перетину одиничного кола х² + у²  = 1 з додатним  напрямом  осі Ох (абсцис) А(1; 0) вважатимемо початком руху  точки  М(х; у) по одиничному колу.

Визначимо додатний і від’ємний напрям обертання. Уявіть, що ми провели числову пряму , як дотичну до кола в А(1; 0). Тепер вважатимемо, що числова пряма є ниткою і накручуємо  цю нитку на одиничне коло х² + у²  = 1. Від точки   А(1; 0) проти часової стрілки накручується додатна частина числової прямої. Цей напрям називають додатним напрямом руху точки  М(х; у) по одиничному колу. 

Від точки   А(1; 0) за часовою стрілкою накручується від’ємна частина числової прямої. Цей напрям називають від’ємним напрямом руху точки  М(х; у) по одиничному колу. 

Місце положення точки  М(х; у) на одиничному колі можна виразити не тільки абсцисою х та ординатою у.  Вкажемо, ще один спосіб знаходження місце положення точки М на  одиничному колі. Наприклад, уявімо, що на числовій прямій, що намотується на одиничне коло, позначили не числову, а градусну міру, як в додатному так і у  від’ємному напрямі, Зрозуміло, що нульовий градус потрапляє у число нуль на числовій прямій, прямий кут, тобто 90^о, в додатному напрямі є число 0,5p,  прямий кут за від’ємним напрямом є число -0,5p, розгорнутий кут в додатному напрямі є число p,  розгорнутий кут за від’ємним напрямом є число -p, і так далі. Так ми встановили взаємно однозначну відповідність між градусною мірою повороту радіуса одиничного кола  відносно початку координат О(0; 0) з числовою мірою(її  часто називають радіанною мірою кутів) на числовій прямій.

Отож, кожне положення точки  М(х; у) під час руху по одиничному колу, може задаватися однією координатою та напрямом руху, а саме градусною мірою повороту радіуса одиничного кола, що відповідає точці на градусній прямій, яку намотали на це коло.

Якщо точка М(х; у) рухається по колу від точки початку А(1; 0) в напрямі проти часової стрілки до деякої точки Р_а , то цей напрям  руху задається як  певна  величина дуги АМ(частина кола), яку вкаже   додатне значення  на накрученій градусній прямій.

Якщо точка М(х; у) рухається по одиничному колу від точки початку А(1; 0) в напрямі за часовою стрілкою до деякої точки Р_-в , то цей напрям  руху задається як  певна  міра, величина дуги АМ(частина кола), яку вкаже   від’ємне значення  на накрученій градусній прямій.

Встановимо зв’язок між абсцисою х та ординатою у точки  М(х; у) і градусною мірою( а отже і радіанною мірою) дуги АМ на одиничному колі.

Положення точки визначається однозначно, якщо вказати довжину дуги АМ, нехай вона дорівнює х( дивись малюнок), якщо відраховувати в додатному напрямі від початкової точки А до точки М. Коли значення х зростає від 0 до 2p, то точка М робить повний оберт по колу в додатному напрямі.

Проміжку 0 < х < 0,5p відповідає дуга АВ, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в першій чверті.

Проміжку 0,5p  < х < p відповідає дуга ВС, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в другій чверті.

Проміжку p  < х < 1,5 p відповідає дуга CD, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в третій чверті.

Проміжку 1,5p  < х < 2 p відповідає дуга DА, і тоді говорять, що точка М вона знаходиться в четвертій чверті.

Із точки М, що знаходиться в першій чверті, опустимо перпендикуляр на вісь Ох, отримаємо основу перпендикуляра М₁.

Розглянемо прямокутний трикутник ОММ₁, гіпотенуза ОМ = 1, кут ОМ₁М – прямий. Позначимо за а кут М₁ОМ. Називатимемо катет М₁О – прилеглий катет до кута а. Називатимемо катет М₁М – протилежний катет до кута а.

Означення. Косинусом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин при­леглого катета та гіпотенузи і позначається

cos а = М₁О:ОМ = х : 1 = х, де х – абсциса точки М(х; у).

Означення. Синусом гострого кута прямокутного трикут­ника називається відношення довжин протилеж­ного катета та гіпотенузи і позначається

 sin а = М₁М:ОМ = у : 1 = у, де у – ордината точки М(х; у).

Означення. Тангенсом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин про­тилежного та прилеглого катетів:

     tg а = М₁М:ОМ₁ ,    tg а = (sin а) : (cos а) .

Означення. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення довжин прилеглого та протилежного катетів:

    ctg а = М₁О:ММ₁,   ctg а = (cos а) : (sin а),    ctg а = 1 : tg а.

Означення. Секансом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин гіпотенузи та  при­леглого катета і позначається

sес а = ОМ :М₁О. sес а = 1 : cos а.

Означення. Косекансом гострого кута а прямокутного три­кутника називається відношення довжин гіпотенузи та  протилежного катета і позначається

cosес а = ОМ :М₁М. соsес а = 1 : sin а.

Звертаємо увагу, що в означеннях фігурують гострі кути прямокутного трикутника. Для того щоб розширити ці означення на довільні значення кутів повороту радіуса навколо початку, можна побудувати такі ж прямокутні трикутники в другій, третій, четвертій чвертях і отримати відповідні значення абсциси  та ординати точки М(соs a; sin a).

Абсциса Х і ордината У точки М, що розташована на одиничному колі таким чином є функціями від градусу повороту радіуса одиничного кола, і їх називають косинусом  та синусом .

А тепер згадаємо, що графік рівняння одиничного кола х² + у²  = 1. Враховуючи, що точка М(х; у) = М(соs a; sin a) рухалася на цьому колі, тоді виконаємо в цьому рівнянні заміну змінних:

х² + у²  = соs² a + sin² a = 1.

Означення. Рівність соs² a + sin² a = 1 називається основною тригонометричною тотожністю для синуса та косинуса.

Означення. Рівність tg a∙ctga = 1 називається основною тригонометричною тотожністю для тангенса та котангенса.

Таким чином, означення основних тригонометричних функцій має геометричний зміст, адже пов’язане з колом, тому тригонометричні функції іноді називають круговими функціями. Однак існує інші, формульні означення синуса та косинуса, наприклад, найпростіші із формул можуть бути взяті степеневі ряди, в яких розуміють виконання тільки двох операцій – додавання і віднімання, проте кількість цих дій безмежна, що рівносильно  існуванню граничному переходу до певної межі.

Означення. Функцією котангенса називається функція, що задається формулою у = сtg x.

Відомо, що число p - трансцендентне, тобто воно не може бути розв’язку деякого раціонального рівняння з раціональними коефіцієнтами. Звертаєтамо увагу на те, що функція  у = сtg x може приймати значення аргументу із множини трансцендентних чисел.   

Функція тангенса належить до множини трансцендентних  функцій.

Функція тангенса належить до множини тригонометричних  функцій.

В прямокутній системі координат графіком функції у = сtg x являється множина точок

 Г = {(x;  сtg x.)| xÎR}.

Означення. Пряма у =1 називається вісь котангенсів, якщо вона дотична до одиничного кола х² + у²  = 1. 

Будь-яка точка А  на вісі котангенсів, має координати 

А(сtg x; 1),

де х – міра кута нахилу прямої ОА з додатним напрямом вісі Ох.

Означення. Котангенсоїдою називається множина точок

Г = {(x;  tg x.)| xєR}.

ВЛАСТИВОСТІ  ФУНКЦІЇ  у = сtg x.

Область визначення функції котангенса – не є множина всіх дійсних чисел.  

  сtg х = (cos х) : (sin х) , де  sin х ≠ 0, тобто, х ≠  pі*k, де  kєZ.

Отже, графік цієї функції невизначений в точках х = pі*k, де  kєZ., тобто не існує. А безліч прямих х = pі*k, де  kєZ являються вертикальними асимптотами, тобто лініями до яких функція наближається як завгодно близько, але їх не перетинає.

Позначення області визначення функції котангенса:

D(сtg x) = R / {pі*k } = ( pі*k; p + pі*k ), де  kєZ.

Множина значень функції котангенса – це множина усіх дійсних чисел, що належать числовій прямій R.

Позначення області значення функції котангенса: Е(сtg x) =  R.

Функція  у = сtg x непарна.

Графік функції у = сtg x симетричний відносно точки (0; 0), тобто початку координат.

 Функція у = сtg x періодична з найменшим додатним періодом Т = pі.

     

Форма графіка повторюється через p. Сам графік можна одержати з будь-якої частини графіка на інтервалі завдовжки  p за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво або вправо на 2pk, де  kєZ.

Точки перетину з осями координат.

Графік функції у = сtg  x перетинає вісь абсцис, якщо у = 0, тоді

сtg x = 0;

х = pk, де  kєZ.

Отже, нулі функції у = сtg x:  

 

Функція  у = сtg x має безліч нулів, тобто, точок перетину котангенсоїди з віссю абсцис(Ох) безліч.

Точки перетину графіка функції у = tg x з віссю Ох:

(0,5p + pk; 0), де  kєZ.

Графік функції у = сtg x перетинає вісь ординат, якщо х = 0, тоді

у = сtg 0  = 0;

Точка перетину графіка функції у = сtg x з віссю Оу: (0; 0).

Проміжки знакосталості.

Функція  у = сtg x додатна, якщо

cos x > 0,  х Î (pk; 0,5p + pk), де  kєZ.

 Функція  у = сtg x від’ємна, якщо

cos x < 0,  х Î (0,5p + pk; p + pk), де  kєZ.

Функція у = сtg x неперевна  в кожному з проміжків:

(pk; p + pk), де  kєZ.

 і необмежена зверху і необмежена знизу, тобто

Поведінка функції у = сtg x біля початку координат

Якщо   x ® +0, то  сtg x ® оо.

Якщо   x ® -0, то   сtg x ® -оо.

У графіка функції у = сtg x безліч точок розриву

х = pk, де  kєZ.

 другого роду.

У графіка функції у = сtg x є вертикальні асимптоти:

При х ®  pk (наближається справа) , то сtg x®-оо.

При х ®  pk (наближається зліва) , то сtg x ®- оо.

У графіка функції у = сtg x є безліч вертикальних асимптот:

х = pk, де  kєZ.

Функція у = сtg x має похідну для будь-якого значення із

R / {pk }, де  kєZ  .

Проміжки монотонності  функції  у = сtg x.

 Функція  у =  сtg x спадає в кожному з проміжків:  

(pk; p + pk), де  kєZ.

Функція  у =  сtg x не зростає на жодному проміжку.

 .

Екстремуми функції  немає.

Функція  у =  сtg x не має найбільшого значення.

Функція  у =  сtg x не має найменшого значення.

Є список інтегралів (первісних функцій) тригонометричних функцій. Для функцій що містять і показникові і тригонометричні функції, дивись Таблиця інтегралів експоненціальних функцій. Для повішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів. Дивись такожтригонометричні інтеграли.

У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає константу інтегрування.

• 1 Функція, що містять тільки синус
• 2 Функція, що містять тільки косинус
• 3 Функція, що містять тільки тангенс
• 4 Функція, що містять тільки секанс
• 5 Функція, що містять тільки косеканс
• 6 Функція, що містять тільки котангенс
• 7 Функція, що містять і синус і косинус
• 8 Функція, що містять і синус і тангенс
• 9 Функція, що містять і косинус і тангенс
• 10 Функція, що містять і синус і котангенс
• 11 Функція, що містять і косинус і котангенс
• 12 Інтеграли з симетричними межами інтегрування

ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ВЛАСТИВОСТІ  ФУНКЦІЇ  У = сtg x».

1. Як називається функція, що задана формулою у =  сtgx?

2. а) Як називається графік функції у =  сtgx? б) Що таке вісь котангенсів?

3. Яка різниця між графіками функції у = с tg x та функції у = sin x?

4. Якою симетрією володіє графік функції у =  сtgx?

5. Які нулі функції у =  сtgx? Скільки нулів у котангенсоїди?

6. Чи вірно, що функція у =  сtgx належить множині раціональних функцій?

7. Чи вірно, що множина раціональних чисел входить до області визначення функції у =  сtgx?

8. Чи вірно, що множина цілих чисел входить до множини значення функції у =  сtgx?

9. Чи вірно, що функція у =  сtgx обмежена  знизу?

10. Чи вірно, що функція у =  сtgx розривна на області визначення?

11. Чи вірно, що функція у =  сtgx має тільки один період на всій області визначення?

12. Як  побудувати графік функція у = сtgx?

13. Що означає термін «функція у =сtgx має проміжки знакосталості»?

14. Що означає термін «функція у = сtgx має проміжки, на яких вона невід’ємна»?

15. Що означає термін «функція у = сtgx має проміжки, на яких вона недодатна»?

16. Що означає термін « графік функції  у = сtgx має безліч асимптот»?

17. Що означає термін «функція у = сtgx має проміжки неспадання»?

18. Що означає термін «функція у =  сtgx має проміжки монотонності»?

19. Чи вірно, що функція у =  5сtg5x може дорівнювати 5p?

20. Чи вірно, що функція у = 6сtg6x має період 6p?

21. Чи вірно, що функція у =  сtgx не має  найбільше значення?

22. Чи вірно, що функція у =  сtgx має  найменше значення?

23. Чому дорівнює значення функції у =  сtgx, якщо x ®+0?

24.Чи вірно, що сtg x < -12? 

25. Чи вірно, що сtg x > 150?

26. Чи завжди вірно, що сtg (-x) =  сtg x?

27. Чи вірно, що сtg (x+ p) = сtg (x+ pk) = сtg x,  де  k ÎZ?

28. Чи вірно, що функція  у = сtg x спадає в кожному з проміжків

 [-p + pk;  pk], де  k ÎZ?

 29. Чи вірно, що функція  у = сtg x не зростає в кожному з проміжків

 [pk; p + pk], де  k ÎZ.

30. Чи вірно, що екстремуми функції  у = сtg x це деякі цілі числа?

31. Чи вірно, що функція  у = сtg x набуває найбільшого значення, що дорівнює 

 y_max = 150 в точках   х_max = p +pk, де  k ÎZ?

32. Чи вірно, що функція  у = сtg x набуває найменшого значення, що дорівнює   

y_min = -150 в точках   х_min = -p + pk, де  k ÎZ?