Розв’язуваня рівнянь вищих степенів та рівнянь, що містять знак модуля"

Конспект уроку на тему "Розв’язуваня рівнянь вищих степенів та рівнянь, що містять знак модуля"

     Мета: узагальнити, систематизувати, поглибити знання та вміння учнів розв'язувати рівняння, які зводяться до квадратних, рівняння вищих степенів та рівняння, що містять знак модуля; розвивати логічне мислення, творчі здібності; виховувати інтерес до математики, увагу, самостійність, уміння працювати в колективі.

     Тип уроку: узагальнення та систематизації знань.

     Девіз уроку:

Думаємо колективно.

Працюємо оперативно.

Сперечаємося показово —

Це для всіх обов'язково.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

Учитель. Добрий день, любі учні! Сьогоднішній урок — це урок-підсумок з теми «Розв'язування рівнянь вищих степенів та рівнянь, що містять знак модуля». Які асоціації у вас викликає слово «урок»?

Очікувана відповідь.

У — УСПІХ.

Р — РАДІСТЬ.

О — ОБДАРОВАНІСТЬ.

К — КМІТЛИВІСТЬ.

Учитель. Я сподіваюся, що на сьогоднішньому уроці на вас чекає і успіх, і радість, також ви продемонструєте обдарованість та кмітливість.

II. Перевірка домашнього завдання

Удома ви мали підготувати творче завдання. Вам було запропоновано три задачі економічного змісту, які слід було розв'язати за допомогою рівнянь. Ви мали об'єднатися в три групи. Завдання кожної групи полягало в тому, щоб обравши одну з трьох запропонованих задач, розв'язати її колективно і зробити до неї презентацію.

Слово представникам груп, які заздалегідь оформили на дошці розв'язання задач.

Доповідь групи 1

Задача 1. Відомо, що якби троє з чотирьох підприємців, які мають рахунки в банку, утворили спільний капітал, то він становив би:

без першого 900 тис. г. од.;

без другого 850 тис. г. од.;

без третього 800 тис. г. од.;

без четвертого 750 тис. г. од.

Скільки грошей на рахунку в кожного підприємця?

Розв'язання

Нехай х1, х2, х3, х4 тис. г. од. — внески першого, другого, третього і четвертого підприємців відповідно. Тоді за умовою маємо систему рівнянь:

Додавши всі рівняння системи, матимемо:

3(х1+х2+х3+х4)=3300,

х1+х2+х3+х4=1100.

Розглянемо систему рівнянь:

Звідси х1=200.

Аналогічно розглянемо системи рівнянь:

Матимемо: х2=250, х3=300, х4=350.

Отже, у першого підприємця на рахунку було 200 тис.г.од., у другого – 250 тис.г.од., у третього – 300 тис.г.од., у четвертого – 350 тис.г.од.

Відповідь. 200 тис.г.од., 250 тис.г.од., 300 тис.г.од., 350 тис.г.од.

Доповідь групи 2

Задача 2. Компанії «Омега» і «Тета» пропонують на біржі однакові партії однотипних автомобілів за різними цінами. Якщо компанія «Омега» продасть на 2 автомобілі, а компанія «Тета» — на 3 автомобілі менше пропонованої кількості, то перша заробить 112 тис.г.од., а друга — 135 тис.г.од. Коли ж, навпаки, компанія «Омега» продасть на 3 автомобілі, а компанія «Тета» — на 2 автомобілі менше пропонованої кількості, то компанія «Омега» заробить на 32 тис. г. од. менше, ніж компанія «Тета». Який виторг отримають компанії «Омега» і «Тета» від реалізації усіх своїх автомобілів? Скільки автомобілів збирається реалізувати кожна з компаній?

Розв'язання

Позначимо через х тис.г.од. (х>0) ціну автомобіля компанії «Омега», а через у тис.г.од. (у>0) — ціну автомобіля компанії «Тета», а через z — кількість автомобілів, яку може продати кожна компанія.

Тоді з умови задачі можна записати рівності:

(z-2)x=112,

(z-3)y=135,

(z-2)y-(z-3)x=32.

Виразимо з першого рівняння (z-2) через х:

,

а з другого (z-3) через у:

.

Підставимо отримані вирази в третє рівняння.

.

Нехай , тоді

.

D=1024-4∙112∙(-135)=1024+60 480=61 504, .

 - не задовольняє умову задачі, що t>0,

.

Отже, .

Поділимо друге рівняння на перше:

,

28(z-3)=27(z-2), 28z-84=27z-54, z=30.

Отже, кожна компанія збирається реалізувати по 30 автомобілів.

Підставивши z у перше рівняння, маємо:

(30-2)x=112, х=4,

а з другого рівняння маємо:

(30-3)у=135, у=5.

Ціна одного автомобіля компанії «Омега» становить 4 тис.г.од., а одного автомобіля компанії «Тета» — 5 тис.г.од.

Виторг компаній «Омега» становитиме xz=30∙4=120 (тис.г.од.), а компанії «Тета» — yz=30∙5=150 (тис.г.од.).

Відповідь. 120 тис.г.од., 150 тис.г.од., 30 автомобілів.

Доповідь групи 3

Задача 3. Продається гарнітур біжутерії, що складається з кліпсів, персня, брошки і шпильки для волосся. Брошка коштує 120 г. д., шпилька для волосся — 25 г.од. Кліпси з брошкою втроє дорожчі, ніж перстень із шпилькою, перстень із брошкою вдвічі дешевші, ніж кліпси із шпилькою. Скільки коштують кліпси і перстень?

Розв’язання

Нехай кліпси коштують х г.од., а перстень – у г.од. Оскільки кліпси з брошкою втроє дорожчі, ніж перстень із шпилькою, то маємо рівняння:

х+120=3(у+25),

а перстень із брошкою вдвічі дешевші, ніж кліпси із шпилькою, то маємо друге рівняння:

2(у+120)=х+25.

Розв’яжемо систему рівнянь:

Отже, кліпси коштують 735 г.од., а перстень – 260 г.од.

Відповідь. 735 г.од. і 260 г.од.

III. Актуалізація опорних знань учнів

Запитання

1. Рівняння — це …

2. Розв'язати рівняння — означає …

3. Які види рівнянь вам відомі?

4. Яке рівняння називається лінійним? Квадратним? Рівнянням вищих степенів?

5. Як у загальному вигляді записують рівняння з однією змінною?

6. Як називається рівняння виду

,

де а0≠0?

7. Як називають одночлен а0xn? an?

8. Які способи розв’язування рівнянь вам відомі?

IV. Розв'язування вправ

Учитель. Іноді корисно розв'ати одне рівняння різними способами, ніж десять рівнянь одним способом.

Пропоную об'єднатися вам у чотири групи і розв'язати рівняння вказаним способом.

(Учні отримують конверт із завданням і вказівкою щодо способу розв 'язування рівняння. Групи коллективно розв'язують рівняння, а потім представник від групи записує розв'язання на дошці, коментуючи його.)

Завдання для групи 1

Розв'язати рівняння

3х3+4х2+4х+3=0

способом групування.

3х3+4х2+4х+3=0,

3х3+3+4х2+4х=0

3(х3+1)+4х(х+1)=0,

3(х+1)(х2-х+1)+4х(х+1)=0,

(х+1)(3х2-3х+3+4х)=0,

(х+1)(3х2-х+3)=0,

х+1=0,

х1=-1, або 3х2-х+3=0.

D<0 – рівняння розв’язків не має.

Відповідь. -1.

Завдання для групи 2

Розв’язати рівняння

3х3+4х2+4х+3=0,

використовуючи теорему Безу та наслідки з неї.

Розв’язання

a0=an=3. Якщо рівняння має раціональні корені, то вони містяться серед чисел .

Перевіркою встановлюємо, що х=-1 – корінь рівняння. Поділимо многочлен 3х3+4х2+4х+3 на двочлен х+1 у стовпчик:

Маємо:

(х+1)(3х2+х+3)=0.

Рівняння 3х2+х+3=0 коренів не має, бо D<0.

Відповідь. -1.

Завдання для групи 3

Розв’язати рівняння

3х3+4х2+4х+3=0

за допомогою схеми Горнера.

Розв’язання

Оскільки сума коефіцієнтів при парних степенях х дорівнює сумі коефіцієнтів при непарних степенях, тох=-1 – корінь рівняння.

Поділимо многочлен 3х3+4х2+4х+3 на двочлен х+1 за схемою Горнера.

	а0	а1	а2	а3
	3	4	4	3
х=-1	b0=3	b1=3∙(-1)+4=1	b2=1∙(-1)+4=3	b3=3∙(-1)+3=0

Рівняння 3х2+х+3=0 коренів не має, бо D<0.

Відповідь. -1.

Завдання для групи 4

Розв’язати рівняння

3х3+4х2+4х+3=0

методом невизначених коефіцієнтів.

Розв’язання

3х3+4х2+4х+3=(ax2+bx+c)(px+q)=apx3+aqx2+bpx2+bqx+cpx=apx3+

+(aq+bp)x2+(bq+cp)x+cq.

Маємо:

Отже, 3х3+4х2+4х+3=(3х2+х+3)(х+1)=0.

Звідси 3х2+х+3=0 або х+1=0.

Рівняння 3х2+х+3=0 коренів не має, бо D<0.

З другого рівняння х=-1.

Відповідь. -1.

Математичний диктант

1. Квадратне рівняння може мати безліч коренів?

2. Остача від ділення многочлена А(х) на двочлен (х-а) дорівнює А(а)?

3. Якщо рівняння b0xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn=0 має цілі корені, то ці корені є дільниками старшого коефіцієнта рівняння (b0)?

4. Для того, щоб число а було коренем многочлена А(х), необхідно і достатньо, щоб многочлен А(х) ділився націло на двочлен (х-а)?

5. Рівняння можна розв’язувати, застосовуючи метод математичної індукції.

6. Схема Горнера застосовується під час розв’язування рівнянь вищих степенів.

7. Остача від ділення многочлена х4-3х2+6х-1 на двочлен х+2 дорівнює 10?

8. Многочлен х2-7х+6 ділиться націло на двочлен х-1?

9. Рівняння, які мають однакові корені, називаються рівносильними?

10. Число а називають коренем многочлена А(х), якщо А(а)=0?

11. Множина коренів многочлена степеня n містить не більше, ніж n елементів.

12. ОДЗ квадратного рівняння є множина R.

Учитель. Пригадаємо загальний спосіб розв’язування рівнянь, що містять знак модуля.

Правило-орієнтир

1. Знайти ОДЗ.

2. Знайти нулі всіх функцій, що містяться під знаком модуля.

3. Позначити знайдені нулі на ОДЗ і визначити знаки функцій, що містяться під знаком модуля, на утворених проміжках.

4. Знайти розв’язок на кожному проміжку й перевірити, чи належить він проміжку.

5. Об’єднати всі знайдені розв’язки.

Учитель. Пропоную, використавши загальний спосіб, розв’язати рівняння.

|x2-9|+|x2-4|=5.

Розв’язання

Перший учень. ОДЗ: .

Другий учень. .

Третій учень. Складемо таблицю значень функцій, що містяться під знаком модуля, на проміжках.

Проміжки	(-∞;-3]	(-3;-2]	(-2;2]	(2;3]	(3:+∞)
x2-9	+	-	-	-	+
x2-4	+	+	-	+	+

Четвертий учень. ;

х2-9+х2-4=5, 2х2=18, х2=9,

,

.

П’ятий учень. ,

9-х2+х2-4=5, 5=5, .

Шостий учень. ,

-х2+9-х2+4=5, -2х2=-8, х2=4,

,

.

Сьомий учень. ,

9-х2+х2-4=5, 5=5, .

Відповідь. .

V. Тестова діагностична робота

Варіант 1

1. Якого значення може набути змінна х у рівності |x|+x=0?

.

2. Чому дорівнює вираз |х∙х3|+16?

3. Чому дорівнює вираз |a-b|, якщо a<b<0?

А. a-b. Б. b-a. В. a+b. Г. –a-b.

4. Скільки коренів має рівняння х3-3|х|=0?

А. жодного. Б. більше двох. В. два. Г. один.

5. Розв’язати рівняння |x+5|=3.

А. -2. Б. -8. В. 8; -8. Г. -2; -8.

6. Знайти суму всіх коренів рівняння |4x-6|=x+3.

А. -3,6. Б. 2,4. В. 3,6. Г. інша відповідь.

Варіант 2

1. Якого значення може набути змінна х у рівності |x|-x=0?

.

2. Чому дорівнює вираз |х∙х|+4?

3. Чому дорівнює вираз |a-b|, якщо b<a<0?

А. a-b. Б. b-a. В. a+b. Г. –b-a.

4. Скільки коренів має рівняння х2-5|х|=0?

А. три. Б. більше трьох. В. два. Г. один.

5. Розв’язати рівняння |x-5|=3.

А. -. Б. 8. В. 2; 8. Г. -2; -8.

6. Знайти суму всіх коренів рівняння |3x-4|=x-1.

А. -1,2. Б. 2,75. В. -1,75. Г. інша відповідь.

VI. Домашнє завдання

Задачі

1. Розподіляючи премії серед 150 осіб трудового колективу підприємства, домовилися 720 тис.г.од., видані для преміювання, розподілити порівну між двома відділами з різними умовами праці. При цьому кожний працівник першого відділу мав одержати на 2 тис.г.од. більше, ніж кожний працівник другого відділу. Скільки людей працює в кожному з відділів? Яку премію одержав кожний працівник першого та другого відділів?

2. Фірма має два відділи, сумарний прибуток яких у минулому році становив 13 млн г.од. На наступний рік заплановано збільшення прибутку першого відділу на 75 %, а другого - на 140 %. У результаті сумарний прибуток фірми має вирости в два рази. Який прибуток мав кожний відділ у минулому році? А який матиме у наступному році?

Розв’язуваня рівнянь вищих степенів та рівнянь, що містять знак модуля"