Функція у = cos x з динамічним графіком

Властивості косинусоїди

В прямокутній системі координат графіком функції у = cos x являється множина точок

 Г = {(x; cos x)| xÎR}.

Означення. Косинусоїдою називається множина точок

Г = {(x; cos x)| xÎR}.

Оскільки 

у =  cos x = sin(x + 0,5p),

 то графік функції у = cos x можна одержати з синусоїди у = sin x паралельним перенесення уздовж осі Ох на -0,5p одиниць.

Динамічний графік косинусоїди - синій колір, графік синусоїди - це червоний колір

ВЛАСТИВОСТІ  ФУНКЦІЇ  у = cos x.

Область визначення функції косинуса – це множина дійсних чисел. Позначення області визначення функції косинуса:

D(cos x) = R = .

Множина значень функції косинуса – це множина таких дійсних чисел, що належать числовому відрізку.

Позначення області значення функції косинуса: Е(cos x) = .

Функція  у = cos x парна.

у(-х) = cos (-x) = cos x = у(х)

Графік функції у = cos x симетричний відносно осі ординат.

Функція у = cos x періодична з найменшим додатним періодом

Т = 2p.

      cos( x+ 2p) = cos ( x+ 2pk) = cos x,  де  k ÎZ.

Форма графіка повторюється через 2p. Сам графік можна одержати з будь-якої частини графіка на інтервалі завдовжки  2p за допомогою паралельного перенесення вздовж осі абсцис вліво або вправо на 2pk, де  k ÎZ.

Точки перетину з осями координат.

Графік функції у = cos x перетинає вісь абсцис, якщо у = 0, тоді cos x = 0;

х = 0,5p + pk, де  k ÎZ.

Отже, нулі функції у = cos x:  

х = 0,5p + pk, де  k ÎZ.

Функція  у = cos x має безліч нулів, тобто, точок перетину косинусоїди з віссю абсцис(Ох) безліч.

Точки перетину графіка функції у = cos x з віссю Ох:

(0,5p + pk; 0), де  k ÎZ.

Графік функції у = cos x перетинає вісь ординат, якщо х = 0, тоді

у = cos0  = 1;

Точка перетину графіка функції у = cos x  з віссю Оу: (0; 1).

Проміжки знакосталості.

Функція  у = cos x додатна, якщо

cos x > 0,  х Î (-0,5p + pk; 0,5p + pk), де  k ÎZ.

 Функція  у = cos x від’ємна, якщо

cos x < 0,  х Î (0,5p + 2pk; 1,5p + 2pk), де  k ÎZ.

Функція у = cos x неперевна і обмежена зверху і знизу, тобто

| cos x |  ≤ 1.

-1 ≤ cos x ≤ 1

Поведінка функції у = cos x біля початку

cos x ≈( 1-х²)^0,5, x ® 0,

координат

Якщо   x ® 0, то  cos x ® 1.

Якщо   x ® +0, то  (cos x )/x ®+¥.

Якщо   x ® -0, то  (cos x )/x ® -¥.

У графіка функції у = cos x не має точок розриву.

У графіка функції у = cos x немає похилих, вертикальних, горизонтальних асимптот.

Функція у = cos x має похідну для будь-якого значення аргументу.

y′(х) = (cos x) ′ = - sin x. 

Перша похідна функції у = cos x це теж тригонометрична функція

y′(х) = - sin x.

Нулі першої похідної y′(х) = - sin x являються точками екстремуму

функції косинуса. Проміжки, де - sin x < 0, вказують на проміжки спадання графіка функції косинуса . Проміжки, де - sin x > 0, вказують на проміжки зростання графіка функції косинуса.

Проміжки монотонності  функції  у = cos x.

 Функція  у = cos x зростає на кожному з проміжків [-p + 2pk;  2pk], де  k ÎZ.

  Функція  у = cos x спадає на кожному з проміжків [2pk; p + 2pk], де  k ÎZ.

Екстремуми функції  у = cos x.

Функція  у = cos x набуває найбільшого значення, що дорівнює 

y_max = 1 в точках   х_max = 2pk, де  k ÎZ.

Функція  у = cos x набуває найменшого значення, що дорівнює

y_min = -1 в точках   х_min = p + 2pk, де  k ÎZ.

Друга похідна функції у = cos x це теж тригонометрична функція

y′′(х) =( - sin x) ′ = - сos x.

Нулі другої похідної y′′ (х) = - сos x являються точками перегину функції косинуса. Проміжки, де - сos x < 0, вказують на випуклість вгору графіка  функції косинуса . Проміжки, де - сos x > 0, вказують на випуклість вниз графіка функції косинуса.

Проміжки випуклості  функції  у = cos x.

Графік функції  у = cos x випуклий вгору на проміжках:

(-0,5p + pk; 0,5p + pk), де  k ÎZ.

 Графік функції у = cos x випуклий вниз на проміжках:

(0,5p + 2pk; 1,5p + 2pk), де  k ÎZ.

Точки перегину графіка функції у = cos x:

х = 0,5p + pk, де  k ÎZ.

Функція  у = cos x має похідні будь-якого порядку.

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції косинуса користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(cos ax)⁽ⁿ⁾= aⁿсos(a x + 0,5pn).

Первісна функції у = cos x.

Функція f(x)=cos x має первісну F(х)=sin x + C.

Площа, яку обмежує косинусоїда і вісь абсцис на відрізку [a;b] обчислюється за формулою: S(cos([a;b])) =;

Площа, яку обмежує косинусоїда і вісь абсцис на своєму півперіоді дорівнює 2 кв. од.

S(cos([-0,5p; 0,5p])) = 2 кв. од.

Площа, яку обмежує косинусоїда і вісь абсцис на своєму найменшому додатному періоді дорівнює 4 кв. од.

S(cos([0; 2p])) = 4 кв. од.

ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ВЛАСТИВОСТІ  ФУНКЦІЇ  У = COS X».

1. Як називається функція, що задана формулою у = cos x?

2. Як називається графік функції у = cos x?

3. Яка різниця між графіками функції у = cos x та функції у = sin x?

4. Якою симетрією володіє графік функції у = cos x?

5. Які нулі функції у = cos х?

6. Чи вірно, що функція у = cos x належить множині усіх раціональних функцій?

7. Чи вірно, що вся множина раціональних чисел входить до області визначення функції у = cos x?

8. Чи вірно, що вся множина цілих чисел входить до області значення функції у = cosx?

9. Чи вірно, що функція у = cos x необмежена на всій області визначення?

10. Чи вірно, що функція у = cos x  розривна на області визначення?

11. Чи вірно, що функція у = cos x має тільки один період на всій області визначення?

12. Як  побудувати графік функція у = cosх?

13. Що означає термін «функція у = cosх має проміжки знакосталості»?

14. Що означає термін «функція у = cosх має проміжки, на яких вона невід’ємна»?

15. Що означає термін «функція у = cosх має проміжки, на яких вона недодатна»?

16. Що означає термін «функція у = cosх має проміжки незростання»?

17. Що означає термін «функція у = cosх обмежена знизу і зверху»?

18. Що означає термін «функція у = cosх має проміжки монотонності»?

19. Чи вірно, що функція у = cos x може дорівнювати 4p?

20. Чи вірно, що функція у = cos x має період 6p?

21. Чи вірно, що функція у = cos x не має  найбільше значення?

22. Чи вірно, що функція у = cos x не має  найменше значення?

23. Чому дорівнює значення функції у = cos x, якщо x = 0?

24. Чи вірно, що cos x < -1? 

25. Чи вірно, що cos x > 1?

26. Чи завжди вірно, що cos (-x) = - cos x?

27. Чи вірно, що cos(x+ p) = cos (x+ pk) = cos x,  де  k єZ?

28. Чи вірно, що функція  у = cos x зростає в кожному з проміжків

 [-0,5p + 2pk;  2pk], де  k єZ?

 29. Чи вірно, що функція у = cos x спадає в кожному з проміжків

 [2pk; 2p + 2pk], де  k єZ.

30.Чи вірно, що екстремуми функції  у = cos x це цілі числа?

31.Чи вірно, що функція  у = cos x набуває найбільшого значення, що дорівнює   y_max = 0,5 в точках   х_max = pk, де  k єZ?

32.Чи вірно, що функція  у = cos x набуває найменшого значення, що дорівнює   y_min = -1 в точках   х_min = 0,25p + 2pk, де  k єZ?

32.Чи вірно, що функція  у = cos x належить до множини нераціональних функцій?