Компетентнісні задачі

10.1   Уявіть собі, що вам  треба  створити алгоритм, який породжує числові послідовності з властивостями арифметичної  прогресії  або з наперед заданими властивостями подільності чисел. Для створення такого алгоритму слід розглянути  властивості рівняння прямої в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом  у = kx + b, де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа. Значення х – називають аргументом, значення у – називають функцією.

В математиці, зокрема в теорії функцій рівняння у = kx + b задає так звану  лінійну функцію, графіком  якої в прямокутній системі координат є пряма лінія.

 В арифметиці чисел  рівняння у = kx + b задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що  k, b – довільні числа,  х – натуральні числа(номер члена прогресії). 

У фізиці рівняннями у = kx + b задають  або описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух  транспорту по прямій.

А в теорії цілих чисел рівняннями  у = kx + b задають послідовність чисел, які при ділення на ціле k мають остачу  b, (зрозуміло, що k – дільник числа у, b – остача,  х – неповна частка).

Ми будемо розглядати арифметичну прогресію:  у(n) =а_n = kn+b.

1.  Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Приклад:  1) 3,7;.....;   2) -5, -1,.......

2.  Різниця між будь-якими двома сусідніми членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому ж числу.

Приклад:  3, 7, 11, 15, 19, ............
                    7-3=4; 11-7=4; 15-11=4; 19-15=4; .......

Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається буквою d.

Приклад:  4,8,12,16,20,......; різниця: d=4

Розглянемо властивості рівняння   у(n) =а_n = kn+b.

1) якщо k = 0, b = 0, то  а_n = 0  - це рівняння  арифметичної прогресії із нульових чисел або рівняння натуральних на осі абсцис Ох;

2) якщо k = 0, b ≠ 0, то  а_n = b  - це сталої арифметичної прогресії, з різницею 0, або  рівняння цілих точок на прямих,  що паралельні до осі  абсцис Ох і проходять через точку (0;  b);

3) якщо k = 1, b = 0, то а_n = n - це рівняння цілих точок   прямої, що є бісектрисою першої  та третьої координатних  чвертей);

4) якщо k = -1, b = 0, то  а_n = - n  - це рівняння  цілих точок прямої, що є бісектрисою другої  та четвертої координатних чвертей);

5) якщо k = 2, b = 0,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n - це рівняння  парних чисел;

6) якщо k = 2, b = -1,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n-1 - це рівняння  непарних чисел;

7) якщо k = 6, b = -1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n-1  - це рівняння  цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;

8) якщо k = 6, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n+1 - це рівняння  цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;

9) якщо k = 15, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 15n+1  - це рівняння  цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1.

МАГІЧНА ВЛАСТИВІСТЬ  АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Члени арифметичної прогресії дають можливість швидко утворити магічні квадрати або на сумах або добутках.  Наводимо  два  довільних  магічних  квадрати 3х3 на сумах, що утворюються з 9-ти членів деякої арифметичної прогресії:

Р4=а + 3d	Р9=а + 8d	Р2=а + d
Р3=а + 2d	Р5=а + 4d	Р7=а + 6d
Р8=а + 7d	Р1=а	Р6=а + 5d

С4=n + 3m	С9=n + 8m	С2=n + m
С3=n+ 2m	С5=n + 4m	С7=n + 6m
С8=n + 7m	С1=n	С6=n + 5m

Числа {a, d, n, m} – натуральні.

Перетворимо ці магічні квадрати деяким чином і утворимо магічні квадрати на добутках. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату на сумах є показником степені з основою  р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степені з основою  g.

 Отримаємо нові магічні квадрати на добутках, для яких зникла   магічна   сума, проте виник  магічний добуток:

ра + 3d	ра + 8d	ра + d
ра + 2d	ра + 4d	ра + 6d
ра + 7d	ра	ра + 5d

gn + 3m	gn + 8m	gn + m
gn+ 2m	gn + 4m	gn + 6m
gn + 7m	gn	gn + 5m

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.  Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

ра + 3dgn + 3m	ра + 8dgn + 8m	ра + dgn + m
ра + 2dgn+ 2m	ра + 4dgn + 4m	ра + 6dgn + 6m
ра + 7dgn + 7m	раgn	ра + 5dgn + 5m

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови:  простоти, парності, непарності, кратності, подільності.

Завдання.

1)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 2 грн, у третьому конверті лежить 3 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 100 грн. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

2)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 2 грн, у другому конверті лежить 4 грн, у третьому конверті лежить 6 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 200 грн. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на добутках розміром 3х3.

3)    Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 3 грн, у третьому конверті лежить 5 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 199 грн.

Із16-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

4)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження    кількості грошей у першому конверті і кількості грошей у п’ятому конверті, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію, з різницею 7  та сумою грошей в шести  конвертах дорівнює 159.

5)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  кількості грошей у другому конверті, якщо у третьому кількість грошей становить 50% від кількості грошей у шостому конверті, а   добуток кількості грошей у третьому та шостому конверті дорівнює 288, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію.

6)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  чотирьох чисел, які знаходяться між числами 1 та 8  і всі ці шість чисел утворюють арифметичну прогресію.

7)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  двох невідомих чисел, для яких середнє арифметичне дорівнює 10, а середнє геометричне дорівнює 6. 

8)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  х: 2+5+8+ ... + х =155.

9)    Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх натуральних двозначних чисел, які не діляться на 7 без залишку.

10)                      Восьмий член арифметичної прогресії становить 40% від четвертого члена, а їх сума дорівнює 2,8. Скільки потрібно взяти членів цієї прогресії, щоб їх сума дорівнювала 14,3?

11)                      Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх тризначних чисел, які кратні 3.

12)                      Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження семи чисел, які знаходяться  між числами 3 і 23   та усі дев’ять чисел утворюють арифметичну прогресію. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

10.2  Уявіть, що вам треба потрібно часто знаходити  інваріантні властивості об’єктів, тобто такі властивості, які після його перетворення не змінюються. Наприклад, можна переставляти в числах цифри так, щоб не змінювалась деяка властивість, тобто деяка умова виконується як для попереднього так і для зміненого  числа.

  Назвемо деяке натуральне число називається магічним по-вінницьки,  якщо будь-яка перестановка цифр цього числа, утворює число, що ділиться на суму своїх цифр. Доведіть, що сума усіх часток, що отримуються в результаті ділення  магічних натуральних чисел, які утворені із деякого магічного по-вінницьки перестановкою його n-цифр, на суму своїх цифр   є числом,  що ділиться на число вигляду  111…1, де кількість одиниць дорівнює кількості цифр даного магічного по-вінницьки числа.

Доведення. Метод математичної індукції. Перевіримо базу індукції.  Зрозуміло, що усі одноцифрові натуральні числа є магічними по-вінницьки.  Для них виконується умова і наслідок задачі. Нехай маємо деяке натуральне магічне по-вінницьки двоцифрове число. До речі  існують такі двоцифрові магічні числа: 10, 12,  18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63,  70, 72, 80, 84, 90.

Перевіримо, як виконується наслідок задачі: 10:1+1:1=11, 12:3+21:3=4+7=11, 18:9+81:9=2+9=11, 24:6+42:6=4+7=11, і так далі.  Тепер почнемо аналізувати  трицифрові магічні числа. Нехай {x; y; z}- цифри трицифрового натурального числа, що володіє зазначеною магічністю. Натуральні  числа:

{xyz;  xzу; yхz;  ухz;  zyх;  уху} -   це множина магічних по-вінницьки чисел.  Сума усіх часток, що отримуються в результаті ділення  магічних натуральних чисел, на суму своїх цифр   є числом

(xyz+ xzу+yхz+ухz+zyх+ zху):(z+х+у) = (100x+10y+z+ 100x+10z+у+100y+10х + z+100у+10х+z+100z+10y+х+ 100у+10х+у ):(z+х+у) =222(z+х+у): (z+х+у)=222=2*111.

Наслідок задачі виконується.

На основі бази індукції, припустимо, що справедливе твердження задачі  для k-цифрового магічного натурального числа, яке отримано набором цифр {х₁; х₂; … х_k}.

Доведемо, , що справедливе твердження задачі  для (k+1)-цифрового магічного натурального числа. Нехай магічне натуральне числа, утворене набором цифр {х₁; х₂; … х_k; х_k+1 }. Нехай, С(х₁; х₂; … х_k; х_k+1) - сума усіх магічних чисел, які утворені набором цифр {х₁; х₂; … х_k; х_k+1 }. 

Тоді С(х₁; х₂; … х_k; х_k+1):(х₁+ х₂+ … х_k+ х_k+1) =

= (С(х₁; х₂; … х_k) + 111….1*х_k+1):(х₁+ х₂+ … х_k + х_k+1) =

=(((k-1)!)*111….1*(х₁+ х₂+ … х_k) + 111….1*х_k+1):(х₁+ х₂+ … х_k + х_k+1)=  =(k!)*111….1*(х₁+ х₂+ … х_k+ х_k+1) :(х₁+ х₂+ … х_k + х_k+1)= (k!)*111….1

що і треба було довести.

Нагадаємо ознаки подільності.

Ознака подільності натурального числа n на натуральне число k – це твердження, що залежить від цифрового запису і перевірка істинності якого, особливо для великих n, потребує менше обчислень, ніж безпосереднє ділення з остачею n на  k. Ознаки подільності різ­ні в різних системах числення. Cформулюємо деякі ознаки подільності у десятковій системі числення.

Нехай натуральне число у десятковій системі числення має вигляд

___________________

a_na_n-1a_n-2…a₄a₃a₂a₁a₀=a

  Тоді це число ділиться без остачі на:

2, якщо  a_о : 2 — остання цифра десяткового запису парна;

3, якщо  (a_n+a_n-1 + …+a₁₊ a_о): 3  – сума цифр десяткового
запису а ділиться без остачі на 3;

4, якщо a₁a_о : 4 – число, утворене двома останніми цифрами
десяткового запису a, ділиться без остачі на 4;

5, якщо a_о = 0 або a_о = 5 – остання цифра десяткового запису
a дорівнює 0 або 5;

6, якщо воно ділиться без остачі на 2 і на 3 одночасно;

7, якщо знакозмінна сума трицифрових чисел:

a_na_n-1a_n-2+…+a₈a₇a₆  -a₅a₄a₃+ a₂a₁a₀  ділиться без остачі на 7;

8, якщо a₂a₁a₀: 8 – число, утворене трьома останніми цифрами десяткового запису a, ділиться без остачі на 8;

9, якщо  (a_n+a_n-1 + …+ a_о): 9 – сума цифр десяткового

запису a  ділиться без остачі на 9;

10, якщо   a_о = 0 – остання цифра десяткового запису a до­рівнює нулю;

11, якщо  (a_n-a_n-1 + …+a_к - a_к-1 + …- a₁ + a_о) : 11 – знакозмінна сума цифр ділиться без остачі на 11;

12, якщо воно ділиться без остачі на 3 і 4;

13,  якщо знакозмінна сума трицифрових чисел:

a_na_n-1a_n-2+…+a₈a₇a₆  -a₅a₄a₃+ a₂a₁a₀  ділиться без остачі на 13.

  

Завдання.

1)    Перевірте, як знаходження квадратного кореня  з натуральних квадратів змінює його парність квадрату. Сформулюйте висновок.

2)    Подумайте і сформулюйте ознаки подільності на 14 та 15.

3)    Обґрунтуйте, ознаку подільності на 16=2⁴.

4)    Як знайти кількість нулів в кінці числа, якщо число має вигляд 2^k3^m5ⁿ7^p?  Сформулюйте висновок.

5)    Як знайти кількість натуральних дільників числа, якщо число має вигляд 2^k3^m5ⁿ7^p? Сформулюйте висновок.

6)    Які властивості числа 2^k3^m5ⁿ7^p зникнуть, якщо  дане число поділити  на дільник  2^k3^m5ⁿ?

7)      Чому числа  вигляду 3ххх3 і  9ххх9 не можуть бути простими?

8)    Досконалими числами називаються такі числа, в яких сума дільників (без даного числа) дорівнює самому числу.

Наприклад,  6 = 1 + 2 + 3;      28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

В даний час відомо 18 довершених чисел: 1) 6 = 2 • (2²– 1) = 2•3;                   2) 28 = 2²• (2⁴– 1) = 4•7;  3) 496 = 2⁴•(2⁵ – 1)= 16•31;   4)     8128 = 2⁶•(2⁷– 1)== 64•127. Ці чотири довершені числа були відомі стародавнім математикам.

5)      33 550 336 = 2¹² • (2¹³ – 1)= 2¹² • 8191;  6)       8 589 869 055 = 2¹⁶ •(2¹⁷ – 1)= 2¹⁶ • 131 071. П'яте і шосте   довершені   числа  доказав Ейлер.

7) 137 438 691 328 = 2¹⁸•(2¹⁹ – 1)= 2¹⁹•524 237.

Шосте і сьоме числа вказав Катальді  в XVI в., а навів доведення Ейлер.

8)2 305 843 003 139 952 128 = 2³⁰•(2³¹–1)= 2³⁰•2 147 483 647. Вивів і довів Ейлер. Чи вірно, що сума усіх обернених дільників досконалого числа d дорівнює 2.

9) З класифікації чисел на парні і непарні починається розвиток теоретичного інтересу людини до чисел; цей момент є початок історії теоретичної арифметики, початок науки про числа.  Таким чином задача: Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

10) При яких умовах можна отримати такий розклад на множники:

ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y)?

11) При яких умовах можна отримати такий розклад на множники:

k⁴+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n² + kn- k²)²?

12)Нехай квадратний тричлен має вигляд  x² + 2ax + b.   Цей квадратний тричлен потрібно записати у вигляді суми степенів лінійних функцій:

x² + 2ax + b =  n₁(x + m₁)² + n₂(x + m₂)² + n₃(x + m₃)²

Варто визначити, яким найменшим числом лінійних функцій  x + m_і  можна обмежитись для квадратичного тричлена  x² + 2ax + b.

Є два варіанти цієї задачі: 1) лінійні функції одні і ті ж  для усіх квадратних тричленів; 2) лінійні функції для кожного квадратного тричлена обираються свої;  У першому випадку найменше число дорівнює трьом. В якості трьох лінійних функцій можна покласти  x+m_і , де і=1,2,3.

Із умови

x² + 2ax + b =  n₁(x + m₁)² + n₂(x + m₂)² + n₃(x + m₃)²

отримаємо систему трьох лінійних рівнянь для невідомих  n_і , де і=1,2,3:

n₁+ n₂+ n₃ =1;   m₁n₁+ m₂n₂+ m₃n₃ =а;   m₁ ²n₁+ m₂²n₂+ m₃²n₃ =b.

Знайти розклад  x² + 4x + 4 =n₁(x + m₁)² + n₂(x + m₂)² + n₃(x + m₃)².

10.3 Уявіть собі, що вам дали можливість дослідити унікальні  властивості  міста «Квадрат», що  має 9 районів, які  зображені  вигляді клітинок  у таблиці розміром 3х3 з назвою «ТРАНСПОРТНА ТАБЛИЦЯ»(яка утворена із магічного квадрату на добутках).  Число у клітинці  таблиці означає кількість хвилин, яка необхідна  мешканцю міста цього району, щоб дістатися із свого району до центрального майдану міста громадським транспортом.

Завдання

1.  Поділити усі райони міста «Квадрат» на три групи за такими ознаками:

·     Час проїзду до центру міста  менше середнього;

·     Час проїзду до центру міста  дорівнює середньому;

·     Час проїзду  до центру  місту більше середнього.

2.Знайти відстань в кілометрах від найвіддаленішого району до центру міста, якщо середня швидкість громадського транспорту на маршруті дорівнює 5 м/с.

3.Знайти відстань в кілометрах від найближчого району до центру міста, якщо середня швидкість громадського транспорту на маршруті дорівнює 5 м/с.

4.Знайти  середню  кількість транспортних засобів  на дорогах у місті у робочий день, якщо у будь-якому районі він  дорівнює добутку усіх чисел, що стоять у стовпчику «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ» , в якому  знаходиться район.

5. Знайти    оплату (в копійках) за одноразове користування засобом громадського транспорту у місті «КВАДРАТ», якщо для мешканця у будь-якому районі він  дорівнює добутку усіх чисел, що стоять у рядку «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ», в якому  знаходиться   район, де проживає цей мешканець.

6. Знайти    кількість мешканців( у         тис. одиниць)  міста «КВАДРАТ», якщо для  будь-якого  району кількість мешканців дорівнює сумі усіх чисел, що стоять у сусідніх клітинках «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ», без клітинки, в якому  знаходиться район.

 7. Знайти  загальні  витрати усіх мешканців( тис. грн)  міста «КВАДРАТ»  на день за користування громадським транспортом, якщо щодня  тільки кожний третій мешканець  міста користується двома платними видами громадського транспорту, а для  будь-якого  району «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ»  немає пільг в оплаті.

  8. Знайти  одноденні фінансові затрати усіх мешканців( тис. грн)  міста «КВАДРАТ»  за користування громадським транспортом, якщо щодня  лише кожний третій мешканець  міста користується  двічі платними видами громадського транспорту, і для  будь-якого мешканця  немає пільг в оплаті.

9. У місто «Квадрат» у робочий день приїздить 12 тис громадян, а виїздить  щодня 11 тис. громадян.  Чи можна стверджувати, що середня кількість мешканців у робочий день у  місті перевищує  2 млн. громадян?

10.  У кожному районі міста «КВАДРАТ» відведені місця для вільної торгівлі. Кожна клітинка «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ» містить число, яке вказує на щоденний ринковий податок у бюджет міста(у гривнях) за використане одне торгівельне місце в даному районі.  Лише 5 % мешканців міста   користуються  щодня торгівельними місцях на вільних ринках.  Яка виручка щодня потрапляє  у бюджет  міста з торгівельного збору?

11.  У кожному районі міста «КВАДРАТ» є місця для вільного доступу до глобальної мережі ІНТЕРНЕТ . Кожна клітинка «ТРАНСПОРТНОЇ  ТАБЛИЦІ» містить число, яке вказує оплату (у копійках) за використане одне з’єднання з Інтернетом в даному районі.  Лише 25% мешканців міста   користуються  щодня місцями вільного доступу до глобальної мережі ІНТЕРНЕТ.  Яка сума щодня витрачається із  бюджету  міста за цю послугу?

12. Муніципалітет міста «Квадрат» виділив  7 млн . грн на  освітлення доріг міста за допомогою сонячної  батареї.  Собівартість підключення  однієї  сонячної  батареї в освітлювальну мережу міста дорівнює  7 тис грн.  Запропонуйте НАЙКРАЩУ схему розташування сонячних батарей у районах міста «КВАДРАТ».

https://www.fxyz.ru/ - математичний довідник