Нерівності для синуса та косинуса

Тригонометричні функції

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Найзручнішим є спосіб розв’язування тригонометричних нерівностей за допомогою тригонометричного кола.
Приклади
1) . Побудуємо одиничне коло (див. рисунок нижче). Проведемо пряму . Вона перетинає коло у двох точках. Одна з них відповідає куту  або , друга — куту  або . Ці дві точки розбивають коло на дві дуги. Точки однієї дуги мають абсцису, більшу за , другої дуги — меншу.

Щоб описати всі точки потрібної дуги, «пройдемо» по ній у додатному напрямку, тобто проти годинникової стрілки. Ураховуючи періодичність функції , дістанемо відповідь:
, n Є Z.
2) . Діючи аналогічно, отримаємо рисунок, на якому зображена пряма :

Умову задачі задовольняють точки, що розташовані на колі нижче прямої .
Але щоб записати проміжок, треба точку  записати в другому вигляді. Для цього додамо  до :
.
Ураховуючи період, дістанемо відповідь:
 при , 
n Є Z.
3) . Ураховуючи, що функція  є зростаючою на кожному з проміжків виду
, n Є Z,
отримуємо , n Є Z.
, , n Є Z. 


Каталог "Нерівності  з синусом та косинусом"

Варіант А

0. -2^0,5 ≤  sina+cosa ≤ 2^0,5, якщо a- дійсне число.

1.  ¹/₂<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<⁶/₇;

2. ²/₃<sin²a/(1+cos²a) +cos²a/(1+sin²a)<1;

3.   -1≤ sin³a+cos³a≤ 1, якщо a- дійсне число.

4.  0,5 ≤ sin⁴a+cos⁴a≤ 1, якщо a- дійсне число.

5.   -1≤ sin⁵a+cos⁵a≤ 1, якщо a- дійсне число.

6.   0,25≤ sin⁶a+cos⁶a≤1, якщо a- дійсне число.

7.   0,125≤ sin⁸a+cos⁸a≤1, якщо a- дійсне число.

8.   0,0625≤ sin¹⁰a+cos¹⁰a≤1, якщо a- дійсне число.

9.  -1≤ sin^2n-1a+cos^2n-1a≤ 1, якщо n - натуральне число.

10.  ¹/₂^n-1≤ sin²ⁿa+cos²ⁿa≤ 1, якщо n - натуральне число.

11. sin²a +4cos²a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0,  якщоa - дійсне число.

12.  2sin2a- 2^0,5sin2a + 2^0,5cos2a+3 ≥ 0,  якщо a -дійсне число.

13.  cos4a- 4sin²a ≥  2 sin2acosa,  якщо a - дійсне число.

16.  2sin²a ≥ 2sin2a-1,  якщо a - дійсне число.

17. sinacosbcosc + cosasinbsinc ≤ 1,  якщо a, b, c -дійснi числa.

18. (sin(cos(a)) ≤ (cos(sin(a)) ,  якщо a - дійсне число.

Варіант Б

Нерівності для синуса  та косинуса

1.   0 ≤ cos²x ≤ 1; якщо x- дійсне число.

2.  0 ≤ sin²x ≤ 1; якщо x- дійсне число.

3. -0,25 ≤ cos²x - cos x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

4. -0,25 ≤ sin²x - sin x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

5. -²/₃^1,5  ≤ cos³x - cos x ≤ ²/₃^1,5,  якщо x- дійсне число.

6. -²/₃^1,5  ≤ sin³x - sin x ≤ ²/₃^1,5,  якщо x- дійсне число.

7.  -2  ≤ cos³x – cos²x ≤ 0,  якщо x- дійсне число.

8.  -2≤ sin³x - sin² x ≤ 0,  якщо x- дійсне число.

9.   -³/₂^8/3  ≤ cos⁴x - cos x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

10.  -³/₂^8/3  ≤ sin⁴x - sin x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

11. -0,25  ≤ cos⁴x – cos²x ≤ 0,  якщо x- дійсне число.

12. -0,25  ≤ sin⁴x - sin² x ≤ 0,  якщо x- дійсне число.

13. -²⁷/₂₅₆  ≤ cos⁴x –cos³x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

14. -²⁷/₂₅₆  ≤ sin⁴x –sin³ x ≤ 2,  якщо x- дійсне число.

15.    sin³x ≤ sin²x ≤ sinx,  якщо 0<x<p.   

16. sin²x ≤ sinx,  якщо 0<x<p.   

17. sin³x ≤ sinx,  якщо 0<x<p.

18. sin³x ≤ sin²x,  якщо x- дійсне число.

Варіант В

1. cos³x ≤ cos²x ≤ cos x,  якщо 0<x<0,5p.

2. sin³x ≤ cosx, якщо -0,5p<x<0.

3. sin³x ≤ cos²x, якщо -p<x<0.

4. cos³x ≤ cos²x, якщо x- дійсне число.

5. cos⁴x ≤ cos³x, якщо -0,5p<x<0,5p.

6. cos⁴x ≤ cos²x, якщо x- дійсне число.

7. cos⁶x ≤ cos⁵x, якщо -0,5p≤x≤0,5p.

8. cos⁵x ≤ cos⁶x, якщо  0,5p≤x≤1,5p.

9. sin(x/2) ≤ sin(x/3), якщо  0≤x≤1,2p; 3,6p≤x≤8,4p; 10,8p≤x≤12p.        

10. sin(x/3) ≤ sin(x/2), якщо  1,2p≤x≤3,6p;  8,4p≤x≤10,8p.

11. sinx³ < sinx², якщо  0<x<1.

12. sinx² < sinx, якщо  0<x<1.

13. sinx < sinx², якщо -2<x<0.

14. cos(e^x)<sin(e^x), якщо 0<x<0,25p.

15. cos(e^-x)<sin(e^-x), якщо 0<x<0,25p.

16. sin(ln(x)) > ln(sin(x)) , якщо   0<x<20

17. cos(e^-x)<sin(e^-x), якщо 0<x<0,25p.

18. sin(e^x)<e^sinx  , якщо x<0.

   

19. x³cosx<1+cosx, якщо 0<x<0,5p.

20.  xcosx<(cosx)/x, якщо 0<x<0,5p.

Варіант Г

1.  2<sin_­²a+sin_­²b+sin_­²g, якщо   0<a<0,5p,   0<b<0,5p, 0<g<0,5p, a+b+g=p.

2.  sin_­³х - sin_­⁶х ≤ 0,25, якщо х – дійсне число.

3. |3sinx-4cosx| ≤ 5, якщо х – дійсне число.

4. сos²x + сos²2x + sin_­2x(2sinx+1)<3, якщо х – дійсне число.

5. tgatgb<1,  якщо a+b<0,5p.  

Тригонометричні залежності між кутами трикутника.

sin A + sin B + sin C =  4cos(0,5A)cos( 0,5B)cos(0,5C),   якщо  A+B+C=p

sin A + sin B - sin C =  4sin(0,5A)sin(0,5B)cos(0,5C), якщо  A+B+C=p

cos A + cos B + cos C =  4sin(0,5A)sin(0,5B)sin(0,5C) + 1,  якщо  A+B+C=p

cos A + cos B - cos C =  4 cos(0,5A) cos(0,5В)sin(0,5С) - 1 ,  якщо  A+B+C=p

cos ²A + cos² B + cos² C =  1- 2 cos A cos B cos C,  якщо  A+B+C=p

sin² A + sin² B + sin² C =2+2 cos A cos B cos C,  якщо  A+B+C=p

sin² A + sin² B – sin² C = 2 sin A sin B  sin C ,  якщо  A+B+C=p

tg A+ tgB + tg C= tg A tg B tg C,  якщо  A+B+C=p

Нерівності з багатьма змінними

Доведення нерівностей

Іноді в мaтемaтичних зaдaчaх виникaє необхідність довести, що нерівність з однією змінною є прaвильною для всіх знaчень змінної. Це роблять зa ознaченнями понять «більше» aбо «менше»:

1) Число a більше від числa b, якщо різниця a–b є додaтним числом.

2) Число a менше від числa b, якщо різниця a–b є від’ємним числом.

3) Число a дорівнює числу b, якщо різниця a–b дорівнює нулю.

Оскільки зaвдaння нa доведення нерівностей дуже різномaнітні, то й способи доведення нерівностей різномaнітні. Основний із них ― зведення зaдaної нерівності до рівносильної їй нерівності, прaвa чaстинa якої дорівнює нулю, і доведення того, що лівa чaстинa нерівності нaбувaє лише додaтних, від’ємних, недодaтних aбо невід’ємних знaчень.

При цьому вaжливо пaм’ятaти, що квaдрaт aбо пaрний степінь вирaзу нaбувaє невід’ємних знaчень; якщо до квaдрaту aбо пaрного степеню вирaзу додaється деяке додaтне число, то одержaний вирaз нaбувaє лише додaтних знaчень.

Доводити нерівності можнa зa допомогою aнaлізу. При цьому требa пaм’ятaти декількa вaжливих нерівностей:

1.     Порівняння середнього арифметичного й середнього геометричного невід’ємних чисел. Середнє геометричне чисел не перевищує їхнього середнього арифметичного ; ;

2.     Нерівність Бернуллі. Якщо деяке число х більше від –1 (х > –1) і n — нaтурaльне число, то n-й степінь суми 1 + х більше aбо дорівнює сумі числa 1 і добутку чисел nx: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

0. x^у - y^z+ z^x   ≤   x^x – y^y+ z^z , якщо х ≥ 1,  у ≥ 1, z ≥ 1.

1. a^p+b^p < c^p, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

2. c^p < a^p+b^p, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

3. (a+b)^2/3 < a^2/3+b^2/3, якщо a>0, b>0.

4. a+b+c ≤ ^ab/_c+^bc/_a+^ca/_b, якщо a>0, b>0, c>0.

5. (a^0,5+b^0,5 +c^0,5)a^0,5b^0,5c^0,5≤ a²+b² +c²   , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

6.  5a^0,5b^0,5 +5b^0,5c^0,5  +7a^0,5c^0,5≤ 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

7.  2a²b²c²(2^0,5ab + 2^0,5ac+cb) ≤ 16a⁸+b⁸ +c⁸.

8. ^(a+b)/(_a²+_b²)+^(b+c)/(_b²+_c²)+^(a+c)/(_a²+_c²)≤¹/_a+¹/_b+¹/_c, якщо a>0, b>0, c>0.

9. ⁹/_a+b+c ≤  ²/_(a+b) + ²/_(b+c) +²/_(a+c), якщо a>0, b>0, c>0.

10.  a< 2a³+2a²+1,   якщо a≥0.

11.  a² -2a^0,5 < 2+a³,   якщо a≥0.

12. ¹/₂ ≤ ¹/_(a+1) + ¹/_(a+2) +¹/_(a+3)  + … + ¹/_2a , якщоa- натуральне число.

13. ¹/₉ +¹/₂₅ + …+¹/_(2a+2)²  < ¹/₄, якщо a- натуральне число.

14. b<ac+^c/_(c-1),  якщо a^0,5 +1≥b,  c>1.

15.  a^0,5b^0,5 +c^0,5d^0,5 ≤(a+c)(b+d)^0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.

16. 2¹/₉ <a^0,5/(b+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5, якщоa>0, b>0, c>0.   

17. (4a+1)^0,5+(4b+1)^0,5+(4c+1)^0,5<5, якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.    

18. (a+b)(a-b) ≤ a²+b².

19. 6a²b²  ≤ a⁴ +2a³b  +2ab ³ + b⁴ , якщо a ≥0, b ≥0.

20.  a⁴ -2a³b + 2a²b² -2ab³ + b⁴≥0, якщо a ≥0, b ≥0.

Нерівності для рядів чисел

1. 5/6<¹/_n+1 +¹/_n+2+ ¹/_n+3+…+¹/_3n<4/3

^{2.  1}/₂׳/₄×⁵/₆×⁷/₈×…×^2n-1/_2n ≤ ¹/(2n+3)^0,5, якщо n- натуральне число.

3.  2((n+1)^0,5-1)<1+¹/₂^0,5 + ¹/₃^0,5 +¹/₄^0,5 + ¹/₅^0,5+…+¹/_n^0,5 <2(n)^0,5 , якщо n- натуральне число.

^{4.  1}/₃² +¹/₄² + ¹/₅²+…+¹/_n²<1-¹/_n, якщо n-натуральне число.

5.  2ⁿ<xⁿ+x^n-2+x^n-4+…+¹/_x^n-4 +¹/_x^n-2 + ¹/_xⁿ, якщо х>0, n- натуральне число.

6.  4ⁿ/_n+1≤ ^(2n!)/_(n!)² , якщо n- натуральне число.

7.  (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 ≤ 2cos(p/2ⁿ⁺¹),якщо n- натуральне число.

8.  (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 < 2, якщо n-натуральне число.

Нерівності для експоненти

1. х+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число;  e»2,718281828459…..

2. х²+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число, x>-1;e»2,718281828459…..

3. x^e < e^x, якщо x- дійсне число.

4. x³+1 <e^x, якщо x- дійсне число, x<2;e»2,718281828459…..

5. e^x < x⁴, якщо x- дійсне число, |x|>2;e»2,718281828459…..

6. ln(x)-x<0, якщо x- дійсне число, x>0.

7. p^e <e^p ,   0,6815<e^p  -  p^e<0,6816; якщо  e»2,718281828459….. ; p»3,1415926535…

8. 4lnx ≤ x²-1/x, якщо x>1.

9. 2ln(x+(x²+1)^0,5) ≤  e^x - e^-x, якщо x ≥0,  e ®(1+1/x)^x, x®oo.

10. (1+¹/_a)^a > (1+¹/_a^a) ,  якщо 0<a <1, a>2.

11. (1+¹/_a)^a < (1+¹/_a^a) ,  якщо 1<a <2.  

12. ln(1+a)<a,  , якщо a >0.

13.   2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.

14. 2abln(^b/_a)< b² – a², якщо 0<a <b.

15. 2 ln(a)<a²-1, якщо a >1.

16.    ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2. 

Нерівності з декількома змінними

39.  a²+3b²  +6c² +2ab -2ac -6abc > 0, якщоa²+b²+c²≠0. 

40.  |a+b| ≥ 2 ,   |a+1/a| ≥ 2 ,  якщо |ab|=1, a, b - дійснiчислa.

41.  |a/b+b/a| ≥ 2,  якщо a, b - дійснi числa.

42.  a²+b² ≥ 2ab,  якщо a, b - дійснi числa.

43.  a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_m ≥ m,  якщо  a₁∙a₂∙a₃∙a₄∙a₅∙…∙a_m =1

44.  ab+bc+ac ≤ a²+b²+c²,  якщо a, b, c - дійснi числa.

45.  3≤ a/b+b/c+c/a ,  якщо a, b, c – додатні  дійснiчислa.

46.  a/b+b/c+c/a ≤ -3,  якщо a, b, c – від’ємні дійснiчислa.

47. ^c/_a < ^(c+d)/_(a+b) < ^b/_d  , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.  

 48.  (ab)^0,5+1≤  (a+1)^0,5(b+1)^0,5 ≤  1+(ab)^0,5/_min{a,b}, якщо a >0, b >0,

49. (abc)^1/3+1≤ (a+1)^1/3(b+1)^1/3(c+1)^1/3≤ 1+(abc)^1/3/_min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.

50.  ²/(¹/_a+¹/_b) ≤ (abc)^1/2 ≤ (a+b)/₂ ≤ ((a²+b²)/₂ )^0,5≤((a^k+b^k)/₂)^1/k

, якщо a >0, b >0.

51.  ³/(¹/_a+¹/_b+¹/_c) ≤ (abc)^1/3 ≤ (a+b+c)/₃ ≤ ((a²+b²+c²)/₃ )^0,5≤((a^k+b^k+c^k)/₃ )^1/k

, якщо a >0, b >0, c >0.

52.    3abc ≤ a³+b³+c³ ,  якщо a +b + c >0.