10 клас. Алгебра. Дистанційне навчання: березня 2019

електронні сервіси з математики — GeoGebra, Математичний онлайн-калькулятор learningapps.org для створення навчальних ігор тощо;

Алгебраїчні задачі Вінницького на кмітливість для старшокласників

Чому справедлива така рівність 8m³+1/m³=0, якщо виконується умова: 4m²+1/m² =2, для довільного ненульового дійсного значення m?

Чому справедлива така рівність 27а³+8/а³=-35, якщо виконується умова: 4/а²+9а² =13, для довільного ненульового дійсного значення а?

Чому справедлива така рівність 8x³-1/x³=0, якщо виконується умова: 4x²+1/x² =4, для довільного ненульового дійсного значення x?

Чому справедлива така рівність 27у³-8/у³=-19, якщо виконується умова: 9у²+4/у² =13, для довільного ненульового дійсного значення y?

Чому справедлива така рівність а³у³- b³/у³=0, якщо виконується умова: а²у²+ b²/у² =2ab, для довільного ненульового дійсного значення змінних a, b, y?

Чому справедлива така рівність а³у³+b³/у³=0, якщо виконується умова: а²у²+ b²/у² =ab, для довільного ненульового дійсного значення змінних a, b, y?

Чому справедлива тотожність Вінницького: ((m-a)/(a-1) – m)/((m-a)/(a-1) – 1)=a , для довільного нерівних одиниці дійсного значення змінних a, m?

Числові головоломки

5.1.(10 балів). Яке число наступне?

2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 17, 18, ?, ,,,,,,,,,,

Відповідь: 21.(17+4=21)

5.2.(10 балів). Яке число наступне?

9998, 9796, 9594, 9392, ?, …..

Відповідь: 9190(послідовність чисел, 99,98,97, …)

5.3.(10 балів). Яке число наступне?

91, 82, 73, ?, …..

Відповідь: 64, (різні цифри двоцифрового числа, та сума двох цифр 10, порядок спадання).

5.4.(10 балів). Яке число наступне?

62, 73, 84, ?, …..

Відповідь: 95, (різні цифри двоцифрового числа, та різниця двох цифр 4, порядок зростання).

5.5.(10 балів). Яке число наступне?

4; 6, 8, 9, 10, 16, 48

3, 4, 4, 3, 4, 5, ?

Відповідь: 10(кількість дільників для числа 48).

5.6.(10 балів). Яке число наступне?

121; 314, 151, 617, 181, 920, 212, ?

Відповідь: 223(групування по три цифри послідовності чисел 12, 13, 14, 15, … ).

5.7.(10 балів). Яке число наступне?

89; 72, 14, ?

Відповідь: 4(добуток цифр 1*4=4).

5.8.(10 балів). Яке число наступне?

77, 49; 36, 18, ?

Відповідь: 8(добуток цифр 8*1=8).

5.9.(10 балів). Яке число наступне?

19951, 99619, 9719, 98199, ?

Відповідь: 92000(послідовність чисел 1995, 1996, 1997, … згрупована по 5 цифр).

5.10.(10 балів). Яке число наступне?

132, 495, 6137, 8179, ?

Відповідь: 102111(послідовність чисел 132: 1+2=3; 495, 4+5=9; 6137: 6+7=13, 8179: 8+9=17, 102111: 10+11=21 … ).

5.11.(10 балів). Яке число наступне?

122, 4205, 6427, 8729, ?

Відповідь: 1011011(послідовність чисел 122: 1*2=2; 4205, 4*5=20; 6427: 6*7=42, 8729: 8*9=72, 1011011: 10*11=110 … ).

5.12.(10 балів). Яке число наступне?

1, 2, 6, 24, 120, ??

Відповідь: 720(послідовність чисел 1; 1*2=2; 1*2*3=6; 1*2*3*4=24; 1*2*3*4*5=120; 1*2*3*4*5*6=720.

5.13.(10 балів). Яке число наступне?

28, 1, 14, 2, 7, ??

Відповідь: 4(послідовність дільників числа 28: 28, 14, 14, 7,4,2,1).

5.14.(10 балів). Яке число наступне?

600, 510, 501, 420, 402, 411, 330, 303, ??

Відповідь: 321(спадна послідовність трицифрових чисел, сума цифр у яких однакова і дорівнює 6, наприклад: 5+1+0=6).

5.15.(10 балів). Яке число наступне?

819, 728, 637, 546, 455, 364, ?

Відповідь: 273(спадна послідовність трицифрових чисел, у яких перші дві цифри, утворюють двоцифрове число, що при діленні на цифру одиниць дорівнює 9, наприклад, 81:9=72:8=63:7=54:6=45:5=36:4=27:3=9).

5.16.(10 балів). Яке число наступне?

8421, 6321, 931,421, 71, 51, 31,??

Відповідь: 21(спадна послідовність чисел, у яких цифри розташовані в порядку спадання і перша цифра НАЙВИЩОГО розряду ділиться без остачі на будь-яку цифру наступного розряду, наприклад, 8:4=2, 8:2=4, 8:1=8, або 6:3=2, 6:2=3, 6:1=6).

5.17.(10 балів). Яке число наступне?

7610, 7601, 7520, 7502, 7430, 7421, 7403, 7340, ?

Відповідь: 7304 (спадна послідовність чотирицифрових чисел, у яких усі цифри різні і перша цифра НАЙВИЩОГО розряду є сумою усіх цифр нижчих розрядів, наприклад, 7=6+1+0, 7=6+0+1, 7=5+2+0, або 7=5+0+2, 7=4+3+0, 7=4+2+1).

5.18.(10 балів). Який вираз наступний?

19=17+13-11, 17=19+11-13, 13=19+11-17, ???

Відповідь: 11=17+13-19 (спадна послідовність чисел, що утворені виразами із числами 11,13, 17, 19 та арифметичними діями: додаванням та відніманням).

5.20.(10 балів). Який вираз наступний?

2*(2-2):(2+2), 2:2+(2-2)*2, (2*2):2+2-2, ((2+2) *2-2):2, ???

Відповідь: 2*2+(2-2):2 (це зростаюча послідовність цифр 0,1,2,3,4, кожна з яких утворена виразом з обов'язковими п'ятьма двійками та обов'язковими арифметичними діями: додавання, віднімання, множення, ділення, дужками, розташованими у належному порядку).

5.21.(10 балів). Який вираз наступний?

0,1=@:((@+@))*@), якщо символ @ - цифра

0,2=(©+©):©:(©+©), якщо символ © - цифра

0,3=(®+®+®) :®:(®+®), якщо символ ® - цифра

???????????

Відповідь: 0,4=(5+5+5+5) :5:(5+5), (@ =©=®=5, зростаюча послідовність цифр 0,1; 0,2;0,3;0,4, що утворені виразами з різною кількістю п’ятірок та арифметичними діями: додавання, віднімання, множення, ділення, дужками, розташованими у належному порядку).

Головоломки на геометричних фігурах

Магічний прямокутник

Приклад. В клітинковий прямокутник, розміром 3x5, заповнений числами від 1 до 15,


	1
				11

зображений на малюнку впишіть числа від 2 до 15 за виключенням 11, яке вже вписано, так, щоб виконувались такі умови: сума трьох чисел в кожному із стовпців однакова; сума п'яти чисел в кожному з рядків однакова; сума кожних двох чисел верхньої та нижньої стрічки, які розміщенні симетрично центральної клітинки середньої стрічки також однакова.

Побудова. Сума всіх чисел від 1 до 15 складає 120. Отже, в кожному рядку сума мусить бути 40, а в кожному стовбці ‒24. Суми чисел у всіх п’яти парах клітинок верхнього та нижнього рядка становлять 80, отже, сума чисел в кожній парі 16. Ця сама сума повинна утворюватись в клітинках, симетричних відносно центру прямокутника. Отже, прямокутник заповнюється таким чином:

5
	1	8	15
				11

У другому стовбчику може бути або 14 і 9, або 13 і 10. Послідовним перебором переконуємося, що єдиний можливий варіант

5	14		7
	1	8	15
	9		2	11

Тепер заповнення будь-якої клітини визначає всі інші. Простою перевіркою знаходимо єдиний варіант

5	14	4	7	10
13	1	8	15	3
6	9	12	2	11

Запитання. Чи існують класичні магічні прямокутники довільних розмірів?

Відповідь: Не для всіх розмірів клітинкових прямокутників існують класичні магічні квадрати. Наприклад, класичний магічний прямокутник, розміром2x3, заповнений числами від 1 до 6 не існує, бо сума чисел 1+2+3+4+5+6=21, непарне число, а прямокутник має парну кількість рядків. По рядкам не можна утворити однакову суму чисел, проте по стовбцям, така сума рівна 21:3 = 7.

Магічні квадрати 3х3.

Класичний магічний квадрат 3х3

Приклад. Спробуємо спочатку розмістити в квадратній таблиці 3х3, натуральні числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: сума по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.

Зрозуміло, що якщо додати усі дані то отримаємо 45. Це число вказує потроєну суму кожного рядка або кожного стовпця. Тому 45 розділимо на 3, отримаємо число 15, яке називають для числового квадрату 3х3 магічна константа . Отже, сума по горизонталям, по вертикалям, по обом діагоналлям у числовому квадраті 3х3 рівна 15. Звертаємо увагу, що 9+1 = 8+2 = 7+3 = 4 + 6 = 10, отже числа розділилися на пари, і без пари залишилося тільки число 5. Таким чином, середнє серед цих чисел повинно стояти в центральній клітинці. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти або пара непарних чисел, або пара парних чисел. В кутових клітинках повинні стояти парні числа. Знайшовши один такий набір можна отримати ще вісім таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.


	5

4		2
	5
8		6

4	9	2
3	5	7
8	1	6

	9
3	5	7
	1

В загальному випадку магічним квадратом nxn є розташування чисел від a₁ до a_n_×_nу вигляді квадрату так, щоб сума по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова, яку називають магічною сумою або магічною константою.

Для кожного значення n існує тільки одна магічна сума s, яку легко знайти.

Покажемо, як це зробити. Так як сума в кожному стовпчику рівна s, а стовпчиків рівно n, то сума усіх чисел в магічному квадраті рівна n∙s. Проте, якщо рахувати іншим способом суму натуральних чисел від 1 до n², то

1+ 2 + 3 + 4 +… + n²= 0,5(1+ n²)n².

Це випливає з формули для сум n членів арифметичної прогресії з початковим числом 1 та різницею 1.

Таким чином отримаємо рівність

n∙s = 0,5(1+ n²)n².

Поділивши обидві частини рівності на n:

s = 0,5(1+ n²)n.

Магічна сума для магічного квадрату від 1 до n визначається однозначною формулою s = 0,5(1+ n²)n.

Варто зазначити, що не існує магічного квадрату для n = 2.

Існує всього 8 варіантів квадратів 3х3 з натуральних чисел від 1 до 9.