Формули сум та формули скороченого множення

Формули у класі многочленів:

 Різниця та сума квадратів    

1=0,25(m²+1)² – 0,25(m²-1)² ;  

m=(m+0,25)²-(m-0,25)² ;   

m²=0,25(m²+1)²-0,25(m²-1)²;  

mⁿ=0,25(mⁿ+1)²-0,25(mⁿ-1)²    

a² + b² – не розкладається  на цілі множники на множині многочленів з дійсними коефіцієнтами;

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b; 

 1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =3 (a – b)(b – c)(c – a).

a⁴ + 4 =  (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² – a + 1);

а⁵ + a +1 = (a² + a + 1)(a³ – a² + 1);

a¹⁰ + a⁵ + 1 = = (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b +  c)(a²+ b² + c² – ab – ac – bc).

a⁴ + 4b⁴ = (a² – 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²);

4a⁴ + b⁴ =  (2a² – 2ab + b²)(2a² + 2ab + b²);

(х – m)(х – m - 2) + 1 = (х – m - 1)²;

1+ (n-1)n(n+1)(n+2)=(n²+n-1)²;

 (х-а)(х-(а+1))(х-(а+2))(х-(а+3))+1 = ((х²-(а +4)х+ (а+4))²;

 16+(n-2)n(n+2)(n+4)=(n² + 2n- 4)² ;   

81+(n-3)n(n+3)(n+6)=(n² + 3n- 9)²;  

256+(n-4)n(n+4)(n+8)=(n² + 4n- 16)²;

k⁴+(n-k)n(n+k)(n+2k)=(n² + kn- k²)²;  

Якщо   m+k=p+q,  тоді

 |mkpq-(0,5km+0,5pq)²|+(x+k)(x+m)(x+p)(x+q))=

=(x² - (k+m)x + 0,5km+0,5pq)²;  

k⁴+(n+k)(n+2k)(n+3k)(n+4k)=(n² + 5kn+5k²)²;  

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

Таким чином, на множині цілих  справедливі такі властивості:

аb(а ± b)=2х

у(у+1)= 2х, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(у+2)(у+1)у = 3х, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(у-1)у(у+1) = 6х, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(у-1)у(у+1)(у+2) = 24х, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(у-2)(у-1)у(у+1)(у+2) = 2∙3∙4∙5х=120х, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Множина раціональних чисел.

Означення. Число називається раціональним, якщо його можна записати у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник  є натуральним числом.

ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ.

Уважно прогляньте такі запитання та відповіді на них.  Наведіть власні приклади десяткових дробів на кожне запитання.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?

 Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади періодичних десяткових дробів.

0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9; 

0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3; 

0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;

0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857 / 999999;                    

0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 = 5:11 = 5/11;

0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384 / 999999.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади скінчених десяткових дробів:

0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;

0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;

0, 3 = 3:10 = 3/10;

0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;

0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.

Запитання: Чи вірно, що існують нескінчені неперіодичні дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади нескінчених неперіодичних десяткових дробів:

3,1415926535897932384626433832795… = π (трансцендентне число, відношення довжини кола до дов­жини його діаметра);

2,71828182… = е (трансцендентне  число Ейлера, значення виразу  (1+1/к)^к, якщо к → ∞);

1,4142135623730950488016887242097… = 2^0,5 (ірраціональне число,  довжина діагоналі одиничного квадрата).

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

Відповідь: Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді звичайного дробу

a/b = a:b,

тобто, записати, як результат дії ділення. Зазначимо,  що

b є N, (тобто, b ≠ 0, натуральні числа),

а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і нуль).

Запитання: Чи завжди в результаті ділення двох скінчених десяткових дробів ми отримаємо скінчені  десяткові дроби?

Відповідь: Не завжди в результаті ділення одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий дріб.  Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

 Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні і неперіодичні.

Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці дістанемо нескінченний десятко­вий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7 періодично пов­торюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із періодом 27.

Але відношення довжини кола до дов­жини його діаметра виражається нескінченним неперіо­дичним десятковим дробом 3,14159... .

Запитання: Які бувають періодичні дроби?

Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і мішані.

Чистим періодичним дробом називається такий, у якого період починається відразу після коми, наприклад чистий періодичний дріб:

12,363636...

Мішаним періодичним дробом називається  такий, у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад мішаний періодичний дріб:

0,07464646...

Записувати періодичні десяткові дроби прий­нято скорочено:

замість 3,2666... пишуть 3,2(6),

замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42 записують у дужках.

Запитання: Як розпізнати скінчені дроби?

Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в роз­кладі на прості множники його знаменника немає інших множників, крім 2 і 5.

Запитання: Чи завжди нескоротний звичайний дріб  є  періодичним?

Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб перетворюється в не­скінченний десятковий дріб,  то останній обов'язково періо­дичний.

 Запитання: Як розпізнати чисті та мішані періодичні дроби?

Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множ­ників 2 і 5, то він чистий періодичний, якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа, тоді дріб мішаний періодичний.

Приклади. Дріб 5/33 до перетворюється в чистий   періо­дичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5. Дріб 11/12 перетворюється у мішаний   періодичний   десятко­вий дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.

Справді,

5/33  = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);

11/12 = 11: 12 = 0,91666666… =  0,91(6).

Запитання: Як можна перетворювати чисті періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади.

0,(8) = 8/9;

0,(84) = 84/99;

0,(876) = 876/999;

0,(8456) = 8456/9999;

15,(37)= 15 + 37/99

12,(352)= 12 + 352/999.

Запитання: Як можна перетворювати мішані періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь:  Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичай­ний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, від­няти число, що стоїть між комою і першим періодом, і здо­буту різницю взяти чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у пе­ріоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади. 

 0,8(57) = (857 – 8) / 990 =  849 / 990

 6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.