Порівняння ірраціональних чисел.

Порівняння ірраціональних чисел.

Якщо  де n — натуральне число, n ≥ 2 .

Приклад 1. 

Приклад 2. Порівняти: 

Розв’язання. 1) Оскільки 

Внесемо множники обох виразів під знак кореня: Оскільки 50 > 48, то  > , а тому 5 > 4.

Приклад 3. Порівняти  і .

Розв’язання. Оскільки  то  Тому  < .

Загальне правило порівняння двох дійсних чисел.

Якщо потрібно порівняти два дійсних числа а і b, то можна розглянути різницю а - b.

При цьому:

якщо а - b > 0 , то а > b;

якщо а - b = 0 , то а = b;

якщо а - b < 0 , то а < b.

Приклад. Порівняти: 

Розв’язання. 

 тому 



Означення, зображення та позначення числового проміжку.

Позначимо на координатній прямій точки із координатами 1 і 4 (мал. 3). Якщо точка розташована між ними, то їй відповідає число, яке більше 1, але менше 4. Вірне і обернене: якщо число х задовольняє умову 1 < x < 4 , то воно зображується точкою, що лежить між точками з координатами 1 і 4. Множину всіх чисел, що задовольняють умову 1 < х < 4 , позначають числовим проміжком від 1 до 4. позначають його так (1; 4). Цей проміжок зображено на малюнку 4.

bbsp;

На малюнку 5 зображено множину точок, що задовольняє умову 2 ≤ х ≤ 7 . Позначають його так [2; 7].

Дано таблицю, в якій відображено відповідність між умовою, зображенням на малюнку та позначенням.

№	Умова	Зображення на малюнку	Позначення
1	х < а		(-∞ ; а)
2	х ≤ а		(-∞ ; а]
3	х > а		(а; +∞)
4	х ≥ а		[а;+∞)
5	а < х < b		(а; b)
6	а ≤ х < b		[а; b)
7	а < х ≤ b		(а; b]
8	а ≤ х ≤ b		[а; b]



Означення арифметичного кореня n-го степеня.

Означення кореня n-го степеня.

Коренем n-го степеня з числа а називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: коренем третього степеня з числа 64 є число 4 (бо 4³ = 64), а коренем четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3 

(бо З⁴ = 81 і (-3)⁴ = 81).

Означення арифметичного кореня n-го степеня.

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а (позначають ).

Приклад 1.

Знак  використовується також для запису арифметичного кореня непарного степеня з від’ємного числа.

Приклад 2.

Властивості арифметичного кореня n-го степеня.

 (а > 0, якщо n - парне і а  R, якщо n - непарне);

Розглянемо приклади застосування цих властивостей.

Приклад.

Дії з арифметичними коренями n-го степеня.

Розглянемо приклади дій з арифметичними коренями n-го степеня.



Винесення множника з-під знака кореня.

Приклад.

Внесення множника під знак кореня.

Приклад 1.

Приклад 2. Внести множник під знак кореня у виразі х, якщо х ≥ 0.

Розв’язання. 

Приклад 3. Внести множник під знак кореня у виразі а, якщо а < 0.

Розв’язання. 



Скорочення дробів.

Приклад. Скоротити дріб: 

Розв’язання. 1) Вирази  i  мають зміст, якщо а ≥ 0 , Ь ≥ 0, тому 

Маємо

Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.

Приклади.



КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ № 5

1. Обчислити значення виразу: 

2. Знайти значення виразу: 

З. Виконати дії: 

4. Обчислити значення виразу: 

5. Винести множник з-під знака кореня: .

6. Спростити вираз: 

7. Знайти значення виразу: 

8. Обчислити: 

9. Обчислити: 

10. Внести множник під знак кореня: 2.

11. Знайти значення виразу  якщо а = 0,2; b = 0,8.

12. Знайти значення виразу: